方圆几何

由于空气阻力和摩擦力, 某一类钟的钟摆每摆动一次的弧长都是其上一次摆动的弧长的 . 假设这个钟摆能无限次摆动, 并且假设第一次摆动的弧长为 40 厘米, 求所有摆动的弧长之和.

设该钟摆在第 次摆动的弧长为 厘米.

依题意,

是首项为 40, 公比为 的等比数列.

所以通项公式

前 次摆动的弧长之和为

因为 , 所以

因此, 所有摆动的弧长之和为 800 厘米.

此问题公比 的绝对值小于 1 的无穷等比数列问题.

一般地, 若无穷等比数列 的公比 满足： , 则其前 项和为

特别的, 若 , 则 , 于是

存在,

且

我们把公比 满足: 的无穷等比数列 的前 项和 的极限值叫做该无穷等比数列的各项和, 用符号 表示, 即 .