海伦公式

如图所示有一个边长为, 和的三角形.令是和边之间的夹角, 用表示三角形的面积.

三角形的面积公式是

余弦定理又指出

如果我们在第一个公式中用面积表示, 在第二个公式中用边长表示, 然后将它们分别代入等式：

就可以得出一个将三角形的面积与其三个边长相关联的公式.

经整理化简, 最终得到：

其中,也就是三角形的半周长.

这就是著名的海伦公式.

数学史

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期, 数学的应用得到了很大的发展, 其突出的一点就是三角术的发展, 在解三角形的过程中, 其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积.

这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的, 但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式, 称此公式为海伦公式, 因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中, 并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明. 中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”, 虽然它与海伦公式形式上有所不同, 但它完全与海伦公式等价, 它填补了中国数学史中的一个空白.

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路, 在知道三角形三边长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积. 比如说在测量土地的面积的时候, 不用测三角形的高, 只需测两点间的距离, 就可以方便地导出答案.