简谐振动与圆周运动

在视频中我们知道了质点匀速圆周运动在轴上的投影点, 其位移按正弦规律随时间变化, 那么这种运动是简谐振动吗？

答案是肯定的, 那怎么进行严谨的证明呢？本文就从简谐振动的定义入手, 从数学角度来研究圆周运动的投影, 简谐振动, 正弦曲线之间的关系.

什么是简谐振动

简谐振动是最基本也是最简单的一种机械振动.

定义 1 ( 简谐振动 )

当某物体进行振动时,物体所受的力的大小与位移的大小成正比, 并且力总是指向平衡位置. 则此振动为简谐振动.

如果用表示物体受到的回复力, 用表示物体距离平衡位置的位移, 根据胡克定律, 和成正比, 它们之间的关系可用下式来表示：

式中的是比例系数, 负号表示回复力的方向总跟物体位移的方向相反. [1]

圆周运动的投影是简谐振动

接下来根据简谐振动的定义, 我们来证明

定理 1 ( 圆周运动与简谐振动 )

圆周运动在竖直方向上的投影是简谐振动.

假设有一个质量为的质点绕点按逆时针方向做匀速圆周运动. 设圆的半径为, 质点运动的角速度为.

以圆心为坐标原点, 圆心与质点的初始位置的连线为轴, 建立如图所示的平面直角坐标系.

经过一段时间, 该质点沿圆周从点运动到点, 由于为角的终边, 因此有.

根据高中物理知识, 我们知道质点做匀速圆周运动所需要的向心力大小是, 方向指向圆心, 向心力的竖直分力为

即

记常数, 于是有, 从而质点所受合力的竖直分力与竖直位移成正比且方向相反, 根据简谐振动的定义, 物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比, 可以得出匀速圆周运动在竖直方向上的投影就是一个简谐振动.

简谐振动的位移图像是正弦曲线

我们知道匀速圆周运动在轴上的投影, 物体位移关于时间的图像是正弦曲线, 上文我们又证明了这种运动就是简谐振动.

$圆周运动的投影简谐振动位移图像是正弦曲线$

那么是否可以说"简谐振动的位移图像都是正弦曲线"呢？当然这在逻辑推理上是不对的,但这个结论却是正确的.

在高中物理中是直接给出这个结论的, 也是判断简谐振动的一种方法. 但没有给出严格的证明. 接下来我们仍旧从简谐振动的定义出发, 建立方程, 通过求解微分方程得出解析解, 来证明此结论.

简谐振动微分方程

根据简谐振动的定义, 物体所受力的大小与位移的大小成正比,

根据牛顿第二定律.当物体质量一定时, 运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比, 跟合力的方向相同.

于是简谐振动物体的运动方程可写为

或

此方程为二阶线性微分方程, 下面我们来求它的解析解.

方程的特殊解

一般来讲, 解析求解微分方程的方法是根据方程的特点进行猜测.

对于简谐振动方程

看到物理量的二阶导数正比于本身, 根据对常见函数的了解, 我们知道正弦或余弦函数有这样的性质, 如

于是猜想

是简谐方程的解.

为了确定的值, 将代入上述方程,

于是

与原方程比较, 必须有

即

是简谐方程的解.

同理,

也是方程的解.

方程的一般解

命题 1 ( 线性性 )

假设都是方程的解, 为常数,

那么, 也是方程的解.

证明

根据求导满足线性性, 可得

于是将已知条件代入, 可得

同理可证也是方程的解.

根据以上结论，方程(1)的一般解可写为

其中为常数.

为了确定的值, 给出初始条件：物体运动的初始位置和初始速度

于是有

当时,

因此,

即方程的解为

根据三角公式, 可以将此解表示为

其中

这说明

定理 2 ( 圆周运动与简谐振动 )

简谐振动的位移关于时间的图像是正弦曲线.

当然, 反过来也可以说位移关于时间的图像是正弦曲线的运动一定是简谐振动.