poster499

简谐振动与圆周运动

6815
1
本文主要介绍了简谐振动,匀速圆周运动和正弦曲线之间的关系.
简谐振动与圆周运动
5 人挑战成功
返回挑战
challenge-problem-icon

完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

5 / 9 读者挑战成功
题目

在偏角不太大的情况(一般认为小于)下, 单摆的运动可以近似地视为简谐振动. 如果单摆的长度为, 重力加速度为. 则单摆的周期公式为__________.

image

选项

跳过看答案

在视频中我们知道了质点匀速圆周运动在轴上的投影点, 其位移按正弦规律随时间变化, 那么这种运动是简谐振动吗?

答案是肯定的, 那怎么进行严谨的证明呢?本文就从简谐振动的定义入手, 从数学角度来研究圆周运动的投影, 简谐振动, 正弦曲线之间的关系.

什么是简谐振动

简谐振动是最基本也是最简单的一种机械振动.

如果用表示物体受到的回复力, 用表示物体距离平衡位置的位移, 根据胡克定律, 成正比, 它们之间的关系可用下式来表示:

式中的是比例系数, 负号表示回复力的方向总跟物体位移的方向相反. [1]

圆周运动的投影是简谐振动

接下来根据简谐振动的定义, 我们来证明

假设有一个质量为的质点绕点按逆时针方向做匀速圆周运动. 设圆的半径为, 质点运动的角速度为.

以圆心为坐标原点, 圆心与质点的初始位置的连线为轴, 建立如图所示的平面直角坐标系.

经过一段时间, 该质点沿圆周从点运动到点, 由于为角的终边, 因此有.

image

根据高中物理知识, 我们知道质点做匀速圆周运动所需要的向心力大小是, 方向指向圆心, 向心力的竖直分力为

记常数, 于是有, 从而质点所受合力的竖直分力与竖直位移成正比且方向相反, 根据简谐振动的定义, 物体所受的力(或物体的加速度)的大小与位移的大小成正比, 可以得出匀速圆周运动在竖直方向上的投影就是一个简谐振动.

简谐振动的位移图像是正弦曲线

我们知道匀速圆周运动在轴上的投影, 物体位移关于时间的图像是正弦曲线, 上文我们又证明了这种运动就是简谐振动.

线

那么是否可以说"简谐振动的位移图像都是正弦曲线"呢?当然这在逻辑推理上是不对的,但这个结论却是正确的.

在高中物理中是直接给出这个结论的, 也是判断简谐振动的一种方法. 但没有给出严格的证明. 接下来我们仍旧从简谐振动的定义出发, 建立方程, 通过求解微分方程得出解析解, 来证明此结论.

简谐振动微分方程

根据简谐振动的定义, 物体所受力的大小与位移的大小成正比,

根据牛顿第二定律.当物体质量一定时, 运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比, 跟合力的方向相同.

于是简谐振动物体的运动方程可写为

此方程为二阶线性微分方程, 下面我们来求它的解析解.

方程的特殊解

一般来讲, 解析求解微分方程的方法是根据方程的特点进行猜测.

对于简谐振动方程

看到物理量的二阶导数正比于本身, 根据对常见函数的了解, 我们知道正弦或余弦函数有这样的性质, 如

于是猜想

是简谐方程的解.

为了确定的值, 将代入上述方程,

于是

与原方程比较, 必须有

是简谐方程的解.

同理,

也是方程的解.

方程的一般解

证明

根据求导满足线性性, 可得

于是将已知条件代入, 可得

同理可证也是方程的解.

根据以上结论,方程(1)的一般解可写为

其中为常数.

为了确定的值, 给出初始条件:物体运动的初始位置和初始速度

于是有

时,

因此,

即方程的解为

根据三角公式, 可以将此解表示为

其中

这说明

当然, 反过来也可以说位移关于时间的图像是正弦曲线的运动一定是简谐振动.

简谐振动与圆周运动

根据简谐振动的运动学微分方程, 我们得到方程的解为

由此, 可以进一步得出简谐振动的振幅, 周期, 频率等公式.

的变化为的整数倍时, 物体会重复之前的运动, 因此简谐振动是周期运动.

周期为

频率为周期的倒数,

称为圆频率.

为位移的最大值, 称为振幅. 称为初相位, 即初始时刻的相位值. 而称为相位.

对于匀速圆周运动, 动点的坐标为

其中为圆周运动的半径, 为角速度, 根据表达式可以很容易看到圆周运动在轴上的投影都是简谐振动.

并且圆周运动的半径对应于简谐振动中的振幅, 角速度对应于圆频率, 相位对应于转角.

简单的匀速圆周运动中竟然蕴含着简谐振动, 而通过数学解析式可以很容易的发现两者之间的关系. 所以打破学科之间的界限, 学会用跨学科的思维去思考问题,去建立不同学科之间, 新旧知识点之间的联系, 这样才能真正将知识学透学活, 让知识更好的为我们所用.

更多思考

匀速圆周运动沿着圆的任一条直径上的分运动就是一个简谐振动, 可以说简谐振动是构成匀速圆周运动的基本元素. 匀速圆周运动是很简单的周期运动, 我们不禁要问, 任意的周期运动,是否都能分解成简谐振动呢?或者说任意的周期运动是否都可由若干个简谐振动合成得到呢?

由于振动和波动的基本规律是声学、地震学、电工学、电子学、光学等的基础. 简谐振动作为最简单最基本的振动便有着非常广泛的应用和强大的作用.

参考文献

[1] Simple harmonic motion https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion

[2] 第9讲:简谐振动 https://zhiyuan.sjtu.edu.cn/file/course/20171011083730_%E8%AE%B2%E4%B9%8909-10%E7%AE%80%E8%B0%90%E6%8C%AF%E5%8A%A8%E3%80%81%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B.pdf

[3] 为什么简谐振动是最基本的振动? https://www.cpsjournals.cn/index/news/detail/40337

1

发布于10 个月前
慕容玖
level0
展开所有评论
发表评论