一类简单的山羊问题

作者 | Patrick Honner

译者 | 慕容玖

原载于 | Quanta Magazine

在数学考试中你可能遇到过一只"吃草的山羊", 通常它被栓在栅栏上在它能到达的任何区域内吃草. 你的任务就是计算它吃草区域的总面积. 如果改变栅栏的形状, 绳子的长度等条件, 吃草山羊问题会变得很有趣味和挑战性. 本文我们就来讨论初中难度的山羊问题.

历史溯源

山羊问题第一个版本发表在1748年的伦敦期刊《The Ladies Diary》上, 该刊物主要展示"艺术和科学的新进步, 以及许多有趣的细节". 当时的问题场景涉及"一匹被拴在公园里的马"：马被栓在圆形栅栏的外面. 如果绳子的长度与栅栏的周长相同, 那么马可以进食的最大面积是多少？

1894年, 这个问题重新出现在《美国数学月刊》上, 但这次马进入到了栅栏内.

随后的几十年里, 《美国数学月刊》发表了很多类似的问题, 栅栏的形状有圆形、方形和椭圆形.

到了20世纪60年代, 山羊开始取代了马, 称为山羊问题.

已知绳长求面积

最简单的山羊问题是将饥饿的山羊用固定长度的绳子绑在栅栏的一侧.

通常在这些问题中, 我们需要求出山羊能到达的所有区域的面积. 该区域是什么样的形状？

当绳子拉紧时, 山羊可以围成一个半圆, 并且可以吃到半圆里面所有的草. 圆的面积公式是, 因此半圆的面积为. 假设绳子长度为, 那么山羊可以吃到面积为 平方单位的草了.

这种简单的场景不会对学生或山羊构成挑战, 所以让我们把问题变得更有趣些. 如果山羊被绑在方形栅栏的一侧怎么办？

假设绳子和栅栏侧面的长度均为, 并且绳子连接到栅栏一侧的中间. 山羊现在可以进入的区域面积是多少？

山羊仍然可以进入与第一个问题相同的半圆.

但山羊也可以继续绕过栅栏的拐角处. 一旦到达拐角处, 山羊的绳子变短, 它还可以扫过栅栏两侧半径为的四分之一圆.

因此山羊可以进入的区域面积为

平方单位.

你可以改变绳子的长度, 或者改变绳子拴在栅栏一端的位置, 甚至改变栅栏的形状使问题变得更具挑战性. 比如将山羊绑在三角形、六边形甚至凹多边形的栅栏里.

已知面积求绳长

你还可以考虑逆向问题：已知面积求绳长.

比如, 让我们继续使用方形栅栏, 并提出一个新问题：绳子需要多长才能让山羊进入面积为平方单位的区域？

首先, 注意到该区域的形状取决于绳索的长度.

• 例如, 如果绳子的长度短于个单位, 山羊就无法绕过栅栏的拐角处, 因此该区域将只是一个半圆形.

• 如果绳子长度大于个单位, 山羊就可以绕过拐角, 如下图所见.

• 如果绳子长度大于个单位, 山羊可以到栅栏后面, 能进入新的区域 (如果绳子变得更长, 就会出现重叠. )

已知总面积平方单位, 为了求出绳长. 需要列出关于的方程. 但不同情况有不同的面积公式. 怎么办呢？

我们不得不分类讨论.

• 如果, 最大面积为 .

• 如果绳长, 这种情况区域为一个半圆加上两个四分之一圆.

于是总面积为

.

将代入, 可得总面积

.

这说明绳子长度.

为了求出精确解, 我们可以列出以下方程：

这也说明为什么逆向问题更加复杂：原问题只需要根据绳长计算面积即可, 而逆向问题需要解方程. 为此, 将方程进行化简整理, 分离出变量. 虽然上式看上去很复杂, 但事实上它就是一个一元二次方程. 化简后, 有

根据二次方程求根公式, 可得

解恰好就在到之间.

如果你觉得你已经掌握这类问题了, 那么你可以自己设计一个山羊问题, 改变绳子拴在栅栏一端的位置, 改变栅栏的形状等条件使问题变得更具挑战性, 并尝试着将问题解决.

1. 原文发布于 Quanta Magazine