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直线分圆

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本文主要给出两种方法来计算直线分割圆面所得最大区域数问题.
直线分圆
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题目

圆周上有若干个点, 将这些点两两相连, 便将圆划分成了许多不同的区域, 那么圆周上个点最多能将圆分成__________部分.

选项

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条直线分圆得到的最多的区域数. 我们先来看特殊情况.

易得 .

根据多次尝试可得 , .

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下表列出了的值.

在上面的尝试中, 我们发现这样的结论:

接下来本文给出两种方法来计算一般情况. 方法一是根据递推关系得出通项公式, 方法二是观察区域数与交点数的关系来得出结论, 并且将此结论推广到了更高维度的分割问题.

方法一:递推关系求最大区域数

根据上文表格, 的前几项是:

于是相邻两项的差为:

猜想递推公式:

事实上, 在条直线的基础上, 再增加一条直线,

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要保证分得的区域数最多, 新添加的这条直线与前条直线要都相交, 且要交于不同点. 于是该直线上便有 个交点, 直线被分割为段, 而每段把它所在的那块区域又一分为二, 所以总共要增加个区域.

所以递推公式

成立.

根据累加法, 可得

所以

方法二:区域数与交点数的关系

在前面的讨论中, 我们发现圆面被直线分割的区域数与交点个数有密切的联系, 观察下图.

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可以发现"上顶点"(标记为)和"内顶点"(直线在圆内部的交点)都有一块区域与其对应.

除此之外, 只有一块区域没有与点对应.

所以可以得到

线

以上图为例, 有条直线, 个内顶点, 因此区域数为

那么为了求出直线分圆所得最多的区域数, 任意两直线必须相交, 任意三条直线不共点, 也就是任意两条直线都能确定一个内顶点.

因此,

事实上, 这个结论可以推广到3维度以至于更高维度.

维问题:个平面最多能将维圆球分割成多少区域?

结果是

更抽象地, 对于更高的维度, 比如

维的切面去分割 维“圆球”, 最多能分成的区域数是:

根据上面的介绍, 你能看懂下面这幅图吗?

无字证明:

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更多思考

关于直线分圆问题, 类似的还有直线分割平面问题(条直线最多可以将一个平面分成几个区域?), 那么这两个问题等价吗?

下面两张图可以说明这个问题.

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另外, 我们还可以思考下面这些问题:

  1. 条直线可以将圆分成几个区域?最少区域数是多少?

  2. 条封闭曲线比如圆, 椭圆可以将平面最多分成几个区域?

  3. 个平面可以将维球体分成几个区域?最多的和最少的区域数分别是多少?

  4. 不同维度的分割问题互相之间有什么联系?

参考文献

[1]T. S. Michael.How to Guard an Art Gallery[M].Baltimore: The Johns Hopkins University Press. 2009:1-13.

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发布于1 年前
慕容玖
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0Moser's circle problem慕容玖发表于1 年前
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