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平行四边形和圆

求在平行四边形内在圆外的面积.
平行四边形和圆
34 人挑战成功
趣味数学挑战

完成本期挑战需要达到:

初中数学水平

题目

如图,每个圆的半径均为,平行四边形的左右两条边经过外面两个圆的圆心,上下两条边与圆相切,图中黄色区域即在平行四边形内在圆外的面积为__________.

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选项

每个圆的半径为,平行四边形是运动的,但其左右两条边始终经过外面两个圆的圆心,上下两条边与圆相切,具体如图所示, image

虽然平行四边形可以变化,但是在这变化过程中,有始终不变的量.

你可以继续阅读也可以跳过下面内容直接进入今日的挑战.

首先注意到平行四边形的上下两条边都触及每个圆的顶部和底部. 每个圆的半径为,于是每个圆的顶部和底部之间的距离等于,意味着平行四边形的高始终为.

现在,请注意平行四边形的边如何穿过外圆的圆心. 连接这两个圆的圆心,则线段长度为半径的倍即长为. 这意味着平行四边形的底边长度等于该长度,因此底边长始终为.

由这两个结论,可以得出平行四边形的面积始终为.

进一步,你能求出阴影部分的面积吗?