棘手的定积分

你能在5秒内口算出这个定积分的值吗？

我告诉你答案是

其实我偷偷的用了这样一个公式.

公式的证明

下面就给出这个公式的证明过程.

记

换元, 令, 则.

则

（其中最后一个等号是将变量写为变量.）

于是将两个等式相加, 可得

因此

得证.

真相揭秘

这么复杂的积分计算竟然暗藏玄机, 结果如此简单. 虽然证明出来了, 我们不禁要思考为什么会这样呢？这个公式使用的条件是什么呢？

其实这里隐藏的是对称性. 公式中的函数应该是任意的, 但如果我们将整个被积函数整体看成是一个函数, 这个函数具有对称性.

具体的, 记, 则

，

于是有

这说明函数的图像关于点中心对称. 也就是如果函数图像上的两个点的横坐标关于对称, 那么这两个点的纵坐标之和为.

回到定积分, 不难理解积分区间为什么是了.

从这个积分公式中我们可以感受到函数对称性之美.