一堆球的数量

数学王子高斯用巧妙的办法快速计算出到的和, 这个故事大家都知道. 那么这个巧妙的计算方法背后隐含的数学原理是什么呢？ 首尾相加这个方法碰到奇数项相加的时候会有点小麻烦, 这个方法有更好的表示形式吗? 有, 那就是倒序相加法.

倒序相加法

举个简单的例子, 已知

倒序重写有

两式相加得

于是

上面这个过程就是倒序相加法, 连续的自然数求和可以用倒序相加法, 更一般的, 倒序相加法可以用于等差数列求和. 下面我们来看如何用倒序相加法给出等差数列的求和公式.

等差数列的求和公式

等差数列首项为公差为，则有

于是

其中

即项数和为的两项和都相等为一个固定值.

于是前项和为

倒序重写有

两式对应相加得

这就是等差数列的求和公式.

回顾整个推导过程, 可以发现倒序相加法其实利用了等差数列的对称性, 通过将等差数列按照首项和末项, 次项和倒数第二项等对应位置的数进行相加, 从而简化计算. 那么倒序相加法还有其他应用的场景吗? 倒序相加法这个方法能推广吗?