三顶帽子的颜色问题

作者 | 朱利安·哈维尔

译者 | 涂泓

原文发表于《不可思议？有悖直觉的问题及其令人惊叹的解答》

A, B, C三人参加一场测试:每人随机得到红色或黄色的帽子, 能看到对方的帽子, 但看不到自己的. 每人需要在"红色", "黄色"或"不作答"中选一个, 如果至少有一个学生猜对了他自己的帽子颜色, 没有人猜错, 则通过测试. 否则（即如果至少有一个人猜错或他们都写了"不作答"）就会失败. 一旦进入考场就不允许以任何方式相互交流, 用什么策略可以通过测试?

这个问题来自于加利福尼亚大学欧文分校的计算机科学讲师托德·伊伯特博士. 正式的问题一共有七位参赛者, 在这里我们讨论三位参赛者的情况.

商量策略

如果让A和B都写"不作答", 而C写"红色", 那么如果C的帽子是红色就会成功, 如果他的帽子是黄色就会失败, 因此获胜的概率为. 还有更好的策略吗?

如果让A写"不作答", 而B和C都写"红色", 那么他们只有的概率获胜.

如果他们决定让B和C都猜黄色, 或者让B猜黄色, C猜红色, 获胜的概率都一样, 因为每个人猜对的概率为, 因此获胜的概率为.

如果他们决定三个人都会猜红色或黄色, 那么只有的概率获胜.

可以看出, 我们需要考虑到对方帽子的颜色来做出判断, 从而影响获胜的概率.

讨论最后, 他们决定让A和B都写"不作答", 如果C看到A和B都戴着红帽子, 他就写上"红色", 否则就写"黄色". 那么这种策略获胜的可能性有多大呢?

A, B, C的帽子颜色可能的组合有种, 即

红红红, 红红黄, 红黄红, 黄红红, 红黄黄, 黄红黄, 黄黄红, 黄黄黄.

其中只有A, B, C的帽子颜色为红红红, 红黄黄, 黄红黄, 黄黄黄时才会成功, 因此获胜的概率为.

综上所述, 目前最高胜率为.

你有更好的策略吗?