黄金三角形的妙用

被称为黄金分割比, 精确值为, 数学中许多有趣的现象都与黄金分割比有关, 比如黄金三角形. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形, 因为它腰与底边(或底边与腰)的比值等于黄金比故得名.

黄金三角形有两种, 在上图中均可看到：

一种是等腰三角形的底角为, 顶角为,该三角形的底边长与腰长之比为约为.

另一种是等腰三角形底角为, 顶角为,该三角形的腰长与底边长之比为约为.

连接正五边形的所有对角线, 由此产生的所有三角形, 都是黄金三角形. 如图：

下面以第一种三角形为例, 我们来证明其底边长与腰长之比为.

如图, 是一个等腰三角形, 底角为, 顶角为, 要计算底边长与腰长之比,

作的角平分线：

易知

所以

设则

因此 ,即 解得

接下来, 你能利用这个黄金三角形来计算的值吗？