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盈不足问题

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《九章算术》专门有一章讲“盈不足” 问题,并给出了完整的解法 ——“盈不足术”.
盈不足问题
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题目

古文:今有漆三得油四,油四和漆五. 今有漆三斗,欲令分以易油,还自和余漆. 问出漆、得油、和漆各几何?(选自《九章算术》)

现代文:已知三份漆可以去市场换得四份油,四份油可以与五份漆调和为油漆. 现有 30 升漆,如果用一部份去市场换油,把换来的油又去调和余下来的漆. 若刚好把油、漆都用完,问拿去换油的漆有多少?换得了多少油?这些油又调和了多少漆?

用去换油的漆有 __________.

选项

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为了介绍我国古代数学在盈不足术方面的成就,我们先讲一个有趣的故事.

据《唐阙 (quē) 史》记载:公元 年左右,唐代有位大官叫杨损,在选用和提拔行政官吏方面以公正闻名. 一次,有两个办事员,需要提升其中一个. 麻烦的是这两个人的职位相同,工作的时间也同样长,甚至他们得到的评语也完全相同.那么,究竟提拔谁好呢?

负责这项工作的官吏对这件事感到很伤脑筋,便去请示杨损. 杨损仔细考虑了一番,说:“一个办事员的最大优点之一是要算得快。现在就让这两个候补人员都来听我出题,哪一个先得出正确答案,他就该得到提升. ”

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他的题是:“有人在林中散步无意间听到几个盗贼在商量怎样分偷来的布匹. 他们说,若每人分 匹,就会剩 匹;若每人分 匹,就会差 匹. 试问,这里共有几个盗贼?布匹总数又是多少?”

杨损让两个候选人员当场在大厅的石阶上用筹进行计算. 不一会,其中一人得出了正确答案,他被提升了. 大家对这个决定也都表示赞成.

英国学者李约瑟在他的著作中曾引用过这个故事,并大书特书,说明解线性方程组的代数问题,在中国唐代曾被用来考核、提升官吏.

这个故事提出的问题,可用二元一次方程组来解,而在两千年前的《九章算术》中,就有很多这类问题. 书中把它们称为“盈不足” 问题,并列出专门一章,给出了完整的解法 ——“盈不足术”.

下面,我们用“盈不足术”解此题.

设盗贼人数为 ,布匹总数为 ,则有:

解得:

, 每人平均分得的匹数为:

一般的,对方程组(1)

这种方法,与现代的行列式解法很相像,与加减消元法也是一致的.这就是“盈不足术”.

你能用盈不足术来解今日的挑战题吗?

参考文献

[1]夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.

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发布于3 年前
慕容玖
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发布于3 年前
慕容玖
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0可以按漆三:漆五的比分配,所以换油的漆是: 30×3/8=11.25白云发表于3 年前
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