绕行在柏拉图立体上

作者 | Patrick Honner

译者 | 慕容玖

原文发布于 Quanta Magazine

橘子数学经授权发布

如果地球不是球形的

你有没有想过这样一个问题：如果地球不是球形的, 生活会是什么样子？我们习以为常的是, 地球在太阳系中平稳运行, 日落也因为地球的旋转对称而显得很自然. 一个圆形的地球使我们能轻松找到从点到点的最快路径：沿着经过这两个点并将球体分成两半的圆行进. 我们利用这些称为测地线 ^[1]的最短路径, 来规划飞机航线和卫星轨道.

但如果我们生活在一个立方体上呢？我们的世界会更摇晃, 地平线会变得歪斜, 最短路径也更难找到. 可能你不会花太多时间想象如何生活在立方体上, 但数学家们会：他们研究在各种不同形状上旅行的情形. 近来关于十二面体上环形路径的发现[1], 改变了我们对一个观察了数千年的物体的看法. 下面我们从简单的立方体开始探索.

立方体上的路径探索

在给定形状上找到最短的环形路径, 似乎只需选择一个方向并沿直线前进即可. 最终你会回到出发点, 对不对？其实这取决于你行走的形状. 如果是球体, 答案是肯定的(我们忽略了地球并非完美球体且表面并非完全光滑的事实. )在球体上, 直线路径遵循“大圆”(经过球心的圆), 例如赤道就是这样的测地线. 如果你沿着赤道走, 大约英里后你会回到起点.

在立方体世界中, 测地线就没有那么明显. 在单个面上找到直线路径很容易, 因为每个面都是平坦的. 但如果你在立方体世界中行走, 当你到达边缘时, 如何继续保持“直线”行走呢？

一个有趣而又经典的数学问题可以给出答案. 想象一下, 一只蚂蚁在立方体的一个角上, 想要到达对角. 在立方体表面上, 从到的最短路径是什么？

你可以想象蚂蚁可以走的许多不同路径.

但哪条路径是最短的呢？有一个巧妙的方法可以解决这个问题. 我们将立方体展开！

如果立方体是由纸做的, 你可以沿着边剪开再展开, 得到一个这样的“展开图”.

在这个平面世界中, 从到的最短路径很容易找到：只需在它们之间画一条直线即可.

要查看立方体世界的测地线是什么样子, 只需将立方体展开图重新组合在一起. 这是我们的最短路径.

展开立方体之所以有效, 是因为立方体的每个面本身都是平的, 因此在沿边展开时不会发生扭曲. (类似的尝试将球体“展开”则不会成功, 因为我们无法在不扭曲的情况下展开一个球体.)

一个惊人的结论

现在我们对立方体上的直线路径有了大致了解, 让我们重新探讨一下是否可以沿着任何直线路径行走, 最终回到起点. 与在球体上不同, 并非每条直线路径在立方体上都会形成环形路径.

但环形路径确实存在, 只是有一个条件. 注意, 蚂蚁可以沿着我们绘制的路径继续前进, 并回到起点. 在立方体上, 完整的环形路径看起来更像一个菱形.

在沿着这条环形路径行进时, 蚂蚁必须经过另一个顶点(点)才能返回到出发点. 这就是条件：从同一个顶点开始和结束的每条直线路径必须经过立方体的另一个顶点.

正四面体和翻滚法

这在五个柏拉图立体(Platonic solids)中有四个是正确的. 在立方体、正四面体、正八面体和正二十面体上, 任何从同一个顶点开始和结束的直线路径都必须经过其他顶点. 数学家们在2016年证明了这一点[2], 但正十二面体并不在他们的名单上. 我们稍后会回到这个话题.

为了理解为什么在四个柏拉图立体上, 这一事实针对测地线是正确的, 我们将采用一种“翻滚”的方法来研究这些路径, 并切换到正四面体世界, 因为在那里更容易研究翻滚路径.

想象从一个正四面体的顶点出发, 沿着一个面以直线路径行进. 让我们将正四面体定向, 使我们的路径从底面开始.

当我们遇到边时, 我们将正四面体翻滚, 使得我们的路径继续在底面上延续：

这个翻滚图给我们提供了一种方法来跟踪我们的路径, 就像我们在立方体的展开图上所做的那样：

上面的翻滚路径表示的是正四面体表面上的路径：

在这里, 正四面体的五次翻滚对应着路径依次经过的五个面.

现在我们可以将正四面体表面上的任何路径想象为这个翻滚空间中的路径. 我们将起点称为, 看看经过一些翻滚后这个点会落在哪里.

当我们的路径从出发时, 正四面体会翻滚到对面的那一侧. 这会将抬离地面.

顶点A暂时悬浮在我们的翻滚空间上方. 通常我们不会在创建翻滚空间时标示的位置, 但如果我们从上方看, 它会出现在这里.

随着路径继续, 正四面体再次翻滚. 它可能有两个方向, 但无论哪一个, 都会回到地面.

当我们让正四面体朝各个可能的方向翻滚时, 我们最终会得到一个这样的翻滚空间：

由于正四面体的等边三角形面能契合在一起, 这就形成了一个网格系统.

这个网格系统告诉我们关于翻滚空间的两个有趣之处. 首先, 正四面体的顶点可以落在的点都是“晶格点”, 即整数坐标点. 这是因为我们坐标系中的一个单位是正四面体的一个边长.

其次, 看看可能会落在哪里.

的坐标总是偶数. 每当在地面上, 它将在两次翻滚后回到地面, 因此的可能着陆点在每个翻滚方向上都间隔两个边长.

现在让我们看看这对测地线有什么启示. 回想一下, 在正四面体上从开始并结束的路径将是翻滚空间中的一条从到另一个的直线段. 当路径的起点和终点都是时, 路径的中点有一个非常有趣的特性.

即使在我们这个歪斜的坐标系中, 标准的中点公式仍然有效, 因此我们可以通过平均端点的坐标来找到中点的坐标. 由于起点的坐标都是, 而终点的坐标都是偶数, 因此我们的中点坐标都是整数. 这使中点成为一个晶格点, 正如我们上面所观察到的, 于是它对应于翻滚空间中的一个三角形的顶点.

例如, 从到的路径的中点是, 这是我们网格中的一个晶格点.

这意味着在正四面体表面上, 从到的路径必须经过另一个顶点.

由于在这个系统中点的每个可能的着陆点都有偶数坐标, 因此每条从到的测地路径的中点都对应于一个晶格点. 这表明在正四面体表面上, 每条从到的测地线必须经过另一个顶点.

这是数学家Diana Davis、Victor Dods、Cynthia Traub和Jed Yang在2015年通过类似但复杂得多的论证所证明的简单版本. 他们证明了立方体的相同结论. Dmitry Fuchs在次年证明了正八面体和正二十面体的结果. 因此, 我们知道在正四面体、正立方体、正八面体和正二十面体上, 没有从一个顶点返回自身的直线路径不经过另一个顶点.

特立独行的正十二面体

然而, 正十二面体表面上关于此类路径的存在问题一直悬而未决, 直到2019年, 数学家Jayadev Athreya、David Aulicino和Patrick Hooper证明了它实际上是不可能的. 事实上, 他们发现正十二面体表面上存在无数条从一个顶点开始并结束而不经过任何其他顶点的直线路径.

这是一条隐藏在正十二面体展开图中的路径.

数千年来, 柏拉图立体一直被一起研究, 因为它们有许多共同点. 然而, 现在我们发现了关于正十二面体的一些全新且截然不同的东西. 这一神秘的发现表明, 无论我们对数学对象理解得多么透彻, 总会有新的东西等待我们去学习. 它还表明, 从问题到解决方案的路径并不总是直线的.

推荐阅读

[1] Jayadev Athreya, David Aulicino, Patrick Hooper. Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces[J]. Experimental Mathematics, 2022,3(3). https://doi.org/10.1080/10586458.2020.1712564

[2] Dmitry Fuchs. Geodesics on Regular Polyhedra with Endpoints at the Vertices[J]. Arnold Mathematical Journal, 2016,2:201–211.

1. 测地线(geodesic)是指在一个给定的曲面或空间中, 局部最短的路径或“直线”. ⬅