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欧拉公式求解直线分圆问题

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本文主要介绍平面图上的欧拉公式并用其计算直线分割圆面所得最大区域数问题.
欧拉公式求解直线分圆问题
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完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

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题目

平面上有个大小相同的圆, 两两相交, 且交点不重合, 它们最多能把平面分成__________个区域.

选项

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吃披萨的时候你有没有想过这样一个问题:如何用最少的切割数切出尽可能多的披萨块? 将这个问题抽象,就有了下面这个数学问题.

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这是高中数学一道经典的直线分圆问题, 常见的作法是根据递推关系求出通项公式. 由于本题研究的是线, 面之间的关系, 欧拉公式正是揭示连通图上点, 线, 面之间关系的一个恒等式, 那么是否可以用欧拉公式来求解此题呢? 你可能会说, 欧拉公式不是针对立体图形的吗? 是的,但其实它也能适用于二维平面连通图. 下面我们就从平面图的定义入手, 介绍平面上的欧拉公式并用其来解决直线分圆问题.

欧拉公式

平面上的欧拉公式是针对平面连通图而言的. 我们先解释一下什么是平面图, 什么是连通图.

平面图是指可以画在平面上并且不同的边可以互不交叠的图. 其中边是指连接两个顶点的线段. 我们用几个例子来解释这个定义.(举例的图形中顶点均用红色标记.)

比如, 下面这幅图是平面图.

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下面这幅个顶点的图就不是平面图, 因为没有办法使得边不相交.

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那么下面这幅有个顶点的图是平面图吗?

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是!因为可以将一条对角线移到外面, 使得边不相交, 如下图所示:

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接着介绍连通图. 如果图中任意两点都是连通的, 那么图被称作连通图. 其中两点连通是指存在从一点到另一点的路径.

比如上述3幅图都是连通图.

有了对平面图连通图的理解, 下面就可以给出平面上的欧拉公式.

其中顶点是指图上的点, 边是连接两个顶点的(曲)线段, 面是指被边分成一块块的区域, 并且这里的面不但包含被边围在内部的面, 而且还包含最外面没有边界限制、延伸至无穷远的那个面.

举个例子, 下图是连通的平面图, 满足公式.

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欧拉公式有很多证明方法, 感兴趣的读者可以查阅文献[1].

问题分析

回到我们的直线分圆求最大区域数问题, 从特殊情况易得如下结论:

那么接下来我们研究问题都是基于这个原则, 即所作图形都是直线两两相交, 交点两两不重合. 那么最大区域数是否可以用平面上的欧拉公式求解呢?我们先来判断所求问题是否满足欧拉公式的使用条件. 以特殊情况为例, 在圆上作条直线, 如下图所示:

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这显然不是平面图. 那么如果我们将直线间的交点看成是图的顶点, 如下图所示,

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啊哈, 这样就符合平面图的定义了, 并且此时顶点之间两两连通, 于是此图为连通的平面图. 而根据图形的构造过程, 结合组合计数原理很容易计算顶点数和边数, 从而利用欧拉公式可以快速求出面数.

特殊情形的分析可以推广到一般的情况, 下面我们就直接对一般问题进行计算.

问题求解

在圆上作条直线, 将直线间的交点看成是图的顶点, 于是我们得到了一个连通的平面图. 具体计算过程如下:

  • 顶点数包含圆周边缘顶点数和圆内部顶点数, 由于直线两两相交, 交点不重合, 于是圆内部顶点数为, 所以

  • 边数包含圆周边缘弧线数和内部直线段数, 其中内部直线段是这样数的:共有条直线, 其中每条直线都被其他条直线分成了段, 所以共有.所以

  • 欧拉公式中的面数包含了外层延伸至无穷远的那个面, 而直线分圆面所求区域数只统计圆内的区域, 不包含那个面, 所以

至此问题得到了解决[2]. 不得不感叹, 欧拉公式确实是数学上最美公式之一.

更多思考

将本文开头的问题改变一些条件, 我们还可以思考下面这些问题:

  1. 若干条直线最多可以将平面分成多少区域?

  2. 若干条封闭曲线(比如圆, 椭圆)最多可以将平面分成多少区域?

  3. 将二维问题推广到三维, 若干个平面最多可以将空间分成多少部分?推广到更高维度呢?

参考文献

[1] Twenty-one Proofs of Euler's Formula. https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/.

[2] T. S. Michael.How to Guard an Art Gallery[M].Baltimore: The Johns Hopkins University Press. 2009:1-13.

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发布于10 个月前
慕容玖
level4
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