赌徒输光

为什么说“久赌必输”, 本文我们就来讨论一下经典的赌徒输光问题.

假设有一个赌徒在赌场赌博, 赌徒赢钱的概率是, 输钱的概率, 每次的赌注为元, 假设赌徒最开始时有赌金元, 赢了赌金加元, 输了赌金减元. 问赌徒输光离场的概率是多少？

赌徒输光的概率

不妨设赌徒有赌金元, 对应的输光离场概率为

根据游戏规则, 如果赌徒输光离场, 则概率

如果赌徒有一个止盈目标元, 即赌金赚到元时, 他就会满意的离场, 也不可能再输钱, 因此输光离场的概率

在每一次游戏中, 赌徒随机赢或者输元钱, 即赌徒的元钱, 再玩一次, 有的概率变为, 有的概率变为.

根据全概率公式有：

整理得到

于是 是以为公比的等比数列.

其中 为常数.

累加法, 可得

其中 为常数.

简写为

其中 为常数.

由

可得

其中.

不同本金的影响

当赢钱的概率超过输钱的概率时, 即 时, 下面分析不同的本金和不同的赢钱概率对输光的概率的影响.

假设止盈目标取赢钱的概率 则有, 此时赢钱的概率是输钱概率的倍.

. 下表列出了不同的本金对输光概率的影响.

可以看到随着本金的增加, 输光的概率相应减小. 当止盈目标为元, 本金为元时, 那么输光的概率只有

赌徒能力的影响

如果固定本金不变, 提高赢钱的概率, 相应的减小, 则输光的概率也相应减小.

但是如果不设止盈目标, 也即, 不管本金和赢钱的概率有多大, 都有. 正所谓久赌必输. 即使赢钱的概率远大于输钱的概率, 只要一直在赌博, 就会有输光的那一天.

当然, 如果输钱的概率超过假设 则 对于同样的止盈目标

可以看到, 如果输钱的概率是赢钱的倍, 赌博犹如火中取栗，本金再多, 输光的概率也很大, 只有不赌才是王道.

参考文献

[1] David C.Lay & Steven R.Lay & Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications. Pearson Higher Ed.