为什么说“久赌必输”, 本文我们就来讨论一下经典的赌徒输光问题.
假设有一个赌徒在赌场赌博, 赌徒赢钱的概率是, 输钱的概率, 每次的赌注为元, 假设赌徒最开始时有赌金元, 赢了赌金加元, 输了赌金减元. 问赌徒输光离场的概率是多少？
赌徒输光的概率
不妨设赌徒有赌金元, 对应的输光离场概率为
根据游戏规则, 如果赌徒输光离场, 则概率
如果赌徒有一个止盈目标元, 即赌金赚到元时, 他就会满意的离场, 也不可能再输钱, 因此输光离场的概率
在每一次游戏中, 赌徒随机赢或者输元钱, 即赌徒的元钱, 再玩一次, 有的概率变为, 有的概率变为.
根据全概率公式有：
整理得到
于是 是以为公比的等比数列.
其中 为常数.
累加法, 可得
其中 为常数.
简写为
其中 为常数.
由
可得
其中.
不同本金的影响
当赢钱的概率超过输钱的概率时, 即 时, 下面分析不同的本金和不同的赢钱概率对输光的概率的影响.
假设止盈目标取赢钱的概率 则有, 此时赢钱的概率是输钱概率的倍.
. 下表列出了不同的本金对输光概率的影响.
可以看到随着本金的增加, 输光的概率相应减小. 当止盈目标为元, 本金为元时, 那么输光的概率只有
赌徒能力的影响
如果固定本金不变, 提高赢钱的概率, 相应的减小, 则输光的概率也相应减小.
但是如果不设止盈目标, 也即, 不管本金和赢钱的概率有多大, 都有. 正所谓久赌必输. 即使赢钱的概率远大于输钱的概率, 只要一直在赌博, 就会有输光的那一天.
当然, 如果输钱的概率超过假设 则 对于同样的止盈目标
可以看到, 如果输钱的概率是赢钱的倍, 赌博犹如火中取栗，本金再多, 输光的概率也很大, 只有不赌才是王道.
