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哪个点更多

线段上的点和单位正方形内的点比较, 哪个点更多?
哪个点更多
31 人挑战成功
趣味数学挑战

完成本期挑战需要达到:

本科数学水平

题目

对于无穷集合的元素个数比较, 我们规定:两个无穷集合的元素之间如果存在一一对应, 它们的元素数目就被定义为 “相等”. 反之, 如果两个无穷集合的元素之间不存在一一对应, 那么它们的元素数目就“不相等”, 此时就遵循整体大于部分的原理.

那么, 一条长的线段上的点(包括端点), 和一个的正方形内的点(包括边界和内部)比较, 包含更多点的是__________.

选项

一条1厘米长的线段上的点, 和一条直线上的所有点比较, 哪个多?

一条1米长的线段上的点, 和一个的正方形内的点比较, 哪个多?

一个单位正方形内的点和一个单位立方体内的点比较, 哪个多?

无论线段还是直线, 还是正方形, 我们都能取出无穷多个不重复的点.所以我们要比较的是无穷的大小!那无穷怎么比大小呢?

比如, 自然数 (即0, 1, 2, 3, ...) 有无穷多个, 正整数 (即 1, 2,3, ...) 也有无穷多个. 现在我们来考虑这样一个问题:

有人会说: “这还用问吗? 当然是自然数多啦!自然数比正整数多一个0呀!” 确实, 正整数只是自然数的一部分, 而整体大于部分, 因此自然数应该比正整数更多.

但细想一下, 事情又不那么简单. 因为如果将自然数装进你的口袋, 正整数装进我的口袋, 我们不知道谁的口袋里装的数多, 那怎么比较呢?当然是, 你从口袋里拿一个0, 我便拿一个1与你的0对应, 你拿出1, 我拿出2, 你拿出2, 我拿出3, 如此无限继续下去, 可以想象, 只要你拿出一个数, 我也总能拿出一个数来, 只要我的数比你大1即可, 而这样的数总是找得到的.这么一来, 谁口袋里的数多就无法定论了, 或者换句话说, 一样多.

而著名的意大利科学家伽利略也考虑过我们上面这个问题. 他的结论是: 那样的比较是无法进行的.

这样的问题困扰了数学家很多年. 但随着数学的发展, 数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论, 它的基石就是上面提到的一一对应的关系, 这是由著名德国数学家康托 (George Cantor) 提出来的.

也就是对于无穷集合的元素个数比较, 康托的理论是:

那么按照这个定义,

自然数集和正整数集都是有无穷多元素的, 并且他们之间可以建立如下一一对应的关系.

所以自然数集和正整数集元素个数一样多.

康托生于 1845 年, 是集合论的奠基者. 康托的理论是如此新颖, 连他自己也曾在给朋友的信件中表示 “我无法相信”. 与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对, 甚至进行了尖锐攻击.但时间最终证明了康托的伟大. 他的集合论成为了现代数学的重要组成部分.

现在请你来比较一下一条长的线段上的点(包括端点), 和一个的正方形上的点(包括边界和内部), 哪个更多?

发布于 2023-01-10 11:18
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慕容玖
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编辑于 2023-01-11 07:45
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