一条1厘米长的线段上的点, 和一条直线上的所有点比较, 哪个多？
一条1米长的线段上的点, 和一个
一个单位正方形内的点和一个单位立方体内的点比较, 哪个多？
无论线段还是直线, 还是正方形, 我们都能取出无穷多个不重复的点.所以我们要比较的是无穷的大小！那无穷怎么比大小呢？
比如, 自然数 (即0, 1, 2, 3, ...) 有无穷多个, 正整数 (即 1, 2,3, ...) 也有无穷多个. 现在我们来考虑这样一个问题：
例 1 ( 比较无穷 )
全体自然数和全体正整数哪个更多？
有人会说： “这还用问吗？ 当然是自然数多啦！自然数比正整数多一个0呀！” 确实, 正整数只是自然数的一部分, 而整体大于部分, 因此自然数应该比正整数更多.
但细想一下, 事情又不那么简单. 因为如果将自然数装进你的口袋, 正整数装进我的口袋, 我们不知道谁的口袋里装的数多, 那怎么比较呢？当然是, 你从口袋里拿一个0, 我便拿一个1与你的0对应, 你拿出1, 我拿出2, 你拿出2, 我拿出3, 如此无限继续下去, 可以想象, 只要你拿出一个数, 我也总能拿出一个数来, 只要我的数比你大1即可, 而这样的数总是找得到的.这么一来, 谁口袋里的数多就无法定论了, 或者换句话说, 一样多.
而著名的意大利科学家伽利略也考虑过我们上面这个问题. 他的结论是： 那样的比较是无法进行的.
这样的问题困扰了数学家很多年. 但随着数学的发展, 数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论, 它的基石就是上面提到的一一对应的关系, 这是由著名德国数学家康托 (George Cantor) 提出来的.
也就是对于无穷集合的元素个数比较, 康托的理论是：
定义 1 ( 无穷 )
两个无穷集合的元素之间如果存在一一对应, 它们的元素数目就被定义为 “相等”.
那么按照这个定义,
自然数集和正整数集都是有无穷多元素的, 并且他们之间可以建立如下一一对应的关系.
所以自然数集和正整数集元素个数一样多.
康托生于 1845 年, 是集合论的奠基者. 康托的理论是如此新颖, 连他自己也曾在给朋友的信件中表示 “我无法相信”. 与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对, 甚至进行了尖锐攻击.但时间最终证明了康托的伟大. 他的集合论成为了现代数学的重要组成部分.
现在请你来比较一下一条