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重叠的图形

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求阴影部分面积占比.
重叠的图形
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完成本期挑战需要达到:

初中数学水平

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题目

如图, 四个正三角形的顶点都落在正六边形的中心, 那么阴影部分面积占六边形面积的比例是 __________.

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选项

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如图, 大正方形的一个顶点恰好落在小正方形的中心, 现在绕着该顶点旋转大正方形, 那么这两个正方形总有部分是重叠的.

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随着大正方形的旋转, 重叠部分的图形也在变化, 有时候是正方形, 有时候是三角形, 有时候是不规则的四边形. 那么面积是怎么变化的?

如果有很多不同的可能性时, 从最简单的情形入手能帮助我们更好的看清楚问题. 不妨从正方形入手.

由于不知道大小正方形的边长, 不妨设大正方形和小正方形的边长分别为.

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那么重叠部分的正方形边长为, 因此其面积为

现在让我们看看重叠区域是三角形的情况. image

三角形的一个顶点也是大正方形的一个顶点, 所以它的角是直角. 由于这个顶点位于小正方形的中心, 而其他的顶点恰好落在小正方形的顶点上. 所以三角形是等腰三角形, 即等腰直角三角形, 且斜边长度为, 腰长为.

因此三角形的面积是

可以看到以上两种情况下, 重叠区域的面积都是小正方形的面积的. 当然仅仅看到这种情况发生了两次并不足以断定它“总是”会发生. 让我们尝试用一些逻辑推理来超越这两种特殊情况.

image

如图, 如果把大正方形的边延长, 即把小正方形分成了四个部分. 你观察到了什么?是不是可以跳过面积的计算? 不管这个大正方形如何旋转, 小正方形和重叠部分的图形是否会“永远”保持这种关系呢?

那么其他正多边形也有类似的情况吗?

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发布于2 年前
慕容玖
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