能否找到一组砝码, 满足下面两个条件:
(1) 能称量从1克到3280克的所有整数克的物品, 但砝码的总质量不能超过3280克.
(2) 砝码的数量尽量要少, 要求不超过8个砝码.
这个问题其实可追溯到 17 世纪法国数学家梅齐里亚克 (Meziriac, 1624) , 在他的名著中解答了用4个砝码称量1克到40克物品的问题.
现在的问题是称量1克到3280克的所有整数克物品, 答案是:
下面来具体分析一下:
用天平称量物体实际上是把物体放在一个托盘上, 然后在两个托盘上分别加上适当的砝码, 使得天平保持平衡, 这时物体的质量就等于这两个托盘上砝码各自质量之和的差值. 这样一来, 砝码组合问题就转变成纯数学的整数最优拆分问题了:
如何将3280分解成一些较小的数(正整数, 下同), 取出一部分这些数(每一个数在一次运算中只能使用一次, 即满足砝码的唯一性)进行或加或减的运算就能得到一个新的数. 而且用这种方法得到的数集里必须包含了从1到3280的所有正整数.
(1) 首先让我们来看理论上能不能做到. 假设这样的一组数存在, 我们设为n个, 从小到大分别为:
根据要求, 我们知道
式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题,
设
即:
解之得:
这就从理论上证明了3280能分成8个较少的数字, 并且从这8个数字中取出m(
(2) 既然理论上是可以做到的, 那我们就实际来做一做.
显然:
那么
有了1和3这两个数字我们就能产生数字:
增加
同理
同理我们可以得到
现在让我们验证方程①是否成立,
方程①成立.
到此我们不但在理论上而且在实际上也找到了这8个数字了, 它们分别是
参考文献:
[1]. 鲍得海. 世界上最完美的砝码组合. https://blog.sciencenet.cn/blog-5190-51860.html