圆的滚动

如图, 一个圆心为, 半径为的圆沿着直角的边内侧滚动一周, 且始终保持与三角形的至少一条边相切. 其中 当回到原来的位置时, 经过的路程是多少？

我们来分析圆与三角形的两条边相切时的情况：如下图所示, 当圆最靠近点时, 圆心在处, 设圆与和的切点分别为和. 因此圆心走过的路径必然要在边长的基础上减去

根据三角比可知.

同理分析其他顶点,

可得的路程是

下面进行具体的计算：

根据三角比公式，有

同理

另外, .

则路径的长度为

那么这个问题还有更简便的计算方法吗？

再次观察小圆圆心的路径发现: 当圆心P的路径围成的三角形不断缩小而保持形状不变时, 我们所需要减去的部分其长度是不变的：恰好是与相似且与小圆相外切的三角形的周长.

于是所求路径长 = 原三角形的周长 - 圆的外切相似三角形的周长.