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抽象函数知多少

一道2019年的高考真题, 你可以完成它吗?
抽象函数知多少
7 人挑战成功
趣味数学挑战

完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

题目

设函数的定义域为, 满足, 且当时, 若对任意 都有的取值范围是 __________.

选项

抽象函数是一类具有特定性质的函数, 满足条件的函数可以有多个. 根据性质求函数解析式是函数问题中的难题, 下面我们用一个具体的例子来说明抽象函数的问题如何求解.

函数图像

我们先来画函数图像, 根据条件当时, .

首先应该在坐标系中作出此图像, 这是一段开口向上的抛物线, 零点分别为 对称轴为 顶点 注意定义域左开右闭, 因此图像左端点空心, 右端点实心.

然后根据条件, 可以知道自变量的值增加个单位, 函数值变为原来的倍.

比如

所以图像上, 点的横坐标向右平移个单位, 纵坐标伸长到原来的倍. 于是可以作出上的函数图像.

进一步可以推出, 点的横坐标向左平移个单位, 纵坐标缩短到原来的

这样就可以作出题目要求的区间段上的函数图像, 如下图所示.

image

函数解析式

那么函数的解析式怎么写呢?由于每一段都是抛物线, 观察图像抓住关键点就可以写出解析式.

但如果从严谨的角度来考虑, 那么还得从已知条件入手, 具体的如下:

根据题意有,

改写成 ,

由于 时, ,

于是 时, ,

;

进一步, 时, ,

;

因为,

于是,

已知 时, ,

于是 时, ,

;

时, ,

.

这样便分段给出了函数的解析式.

你看明白了吗?现在你能根据这个函数的图像来挑战2019年的一道全国高考题吗?

发布于 2022-03-14 11:14
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编辑于 2022-06-02 08:06
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