数学视角的转变:从内角和转到外角和

作者 | 陈永明

众所周知, 三角形的内角和等于 . 但在一次学术报告上, 数学界领袖级人物陈省身教授却说不对. 正当大家疑惑的交头接耳议论时, 陈教授又说了：“说三角形的内角和等于 , 不对, 不是说这个结论不对, 而是说这种看问题的方法不对. 应该说三角形的外角和等于 , 才对. ”

陈省身为什么非要把这句话改过来呢? 因为,这样说更有普遍性. 你看：

三角形内角和等于 , 外角和等于 ;

（凸）四边形内角和不等于 , 但外角和仍等于 ;

（凸）五边形内角和不等于 , 但外角和仍等于 ;

而且, 这个结论还可以推广.

设想有一只小虫, 沿四边形的边界爬行. 当它爬到某一个顶点时, 就要转过一个角度. 然后继续爬. 到第二个顶点时, 又要转过一个角度 当它爬回到原处的时候, 它转过的角度的改变量的总和就是 .

即使是凹的四边形, 这个结论还是成立, 不过, 是它转过的角度的改变量的“代数和”是 .

设想小虫沿着一个圆周爬行. 这时,爬行的方向随时随地在改变. 譬如, 开始时,小虫在 点处, 绕逆时针的方向爬行. 它开始时是面朝东的, 慢慢地面朝东北方向了 ,朝北了 , 朝西北了, 最后回到 处时, 面又朝东了. 所以,它的方向的改变量是 .

把眼光从内角和转向外角和, 就可以把“外角和是 ”推广为 “方向改变量是 ”. 陈教授在此基础上还研究了绕曲面上的一个封闭曲线“爬行”, 辟如绕地球上的赤道,或者北回归线 “爬行”时的方向改变量.

1944 年, 陈省身找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式,这就是“高斯一比内一陈公式”,并在此基础上发展出“陈氏类”理论, 这个理论在物理方面有重要的应用, 被称为是划时代的贡献. 而这个理论始于转换一下眼光, 把注意力从内角和转到外角和！

科学家的眼光就是与众不同！