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双向奔赴

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在网格中随机行走, 二人相遇的概率是多少?
双向奔赴
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完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

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题目

如图, A点和B点分别是网格的左下角, 右上角顶点, 小橘站在点A, 每秒钟向上或向右移动一格直到B点, 小明站在点B, 每秒钟向下或向左移动一格直到点A. 若两人同时出发, 则小橘和小明相遇(同时到达同一点)的概率等于__________.

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选项

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如图, A点和B点分别是网格的对角顶点, 小橘站在点A, 每秒钟向上或向右移动一格直到B点, 小明站在点B, 每秒钟向下或向左移动一格直到点A. 若两人同时出发, 则小橘和小明有多大概率会成功相遇(同时到达同一点)?

image

一条成功的相遇路径

由于小橘和小明是同时开始移动的, 而从A点到B点需10次移动, 因此当二人相遇时, 每人都移动了5次. 而小橘在5次移动中可以选择向上或者向右移动, 因此5次移动后可能在6处红色标记的位置, 如下图所示.

image

这6个位置也是小橘和小明相遇的点.

比如小橘先向上4步再向右1步到达点C, 而小明先向左1步, 再向下1步, 再向左3步也到达点C.

这就是两人能成功相遇的一种路径, 用符号表示为

image

那么这样的路径有多少种呢?

一条思路是分别计算出小橘走到6个点的路径种数, 但这样做计算量有点大.

我们换个角度来看这个问题.

等价的路径

对于成功相遇的一条路径, 我们可以将其看成是A点到B点的一条最短(只能向右或向上移动)路径.

比如上图, 将路径

看成是

也就是将小明走的路径让小橘逆着他的路线走过去. 这样, 小橘走的整条路径就变成了从A点到B点的一条最短路径.

反过来, 对于每一条A点到B点的最短路径, 必然经过中间的6个相遇点中的一个. 比如, 路径

点就是相遇点, 所以对应的一条成功的相遇路径为

所以说

成功相遇的路径

与A点到B点的最短路径

两者是一一对应的.

相遇的概率

从A点到B点的最短路径数是多少?

由于要最短所以每次只能向右或向上走, 总共走10步, 则必有5步向右, 5步向上, 在这10步中, 如果确定了向上的5步, 剩下的5步便是向右走. 因此所有的路径数是 这就是两人成功相遇的路径数.

为了相遇, 两人分别要走5步, 每步都有2种选择, 小橘向右或向上, 小明向左或向下. 因此分别有种选择. 对于小橘的每一种选择, 小明都有条路可以选择, 因此两人分别走5步, 共有种情况.

所以两人相遇的概率是

如果改变街区大小,相遇的概率会怎么变化呢?

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发布于2 年前
慕容玖
level0
0@哄哄 那你怎么想的?dongrl发表于2 年前
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