例 1 ( 表面积最小 )
一个圆柱体罐子体积为一定值, 底面半径和高度比为多少才能使其表面积最小?
下面用两种方法来求解这个问题, 常规方法是列出表面积公式, 利用基本不等式求最值. 另一种方法是利用一个已有的结论并通过构造, 将圆柱体的表面积最小值转化为长方体的表面积最小值来计算. 请你来比较一下这两种方法孰优孰劣.
常规做法
不妨设
体积
表面积
化简得,
下面需要用到三元基本不等式:
有
当且仅当
即
此时
因此底面半径和高度的关系是
当
其实这个常规做法不简单:三元基本不等式高中不要求, 在解题过程中还涉及到了一个小小的拆分技巧, 在求底面半径和高度的关系时也有点计算量.
那么这个问题还有其他做法吗?有, 下面给一个非常规方法.
非常规做法
首先得知道一个结论:
定理 1 ( 定理 )
体积一定的长方体具有最小表面积时是一个正方体.
证明
不妨设长方体的长宽高分别为
表面积为
由三元基本不等式
当且仅当
因此体积一定的长方体具有最小表面积时是一个正方体.
回到原题
根据圆柱体底面圆的对称性, 将这个罐子嵌在一个底面边长为圆直径的正方形, 高与圆柱体等高的, 即
于是, 罐子底面积与盒子底面积之比为
罐子的侧面积与盒子的侧面积之比为
因此, 罐子的总表面积与盒子的总表面积之比为
由于罐子的体积与盒子的体积之比为
因此, 当围成的长方体盒子的表面积最小时, 圆柱体罐子的表面积也最小.
根据定理 1,当该长方体盒子是一个立方体, 即
因此, 当底面直径等于圆柱体高时, 表面积最小.
利用一个简单的结论解决了一个复杂的问题, 避免了繁琐的计算, 这个方法还是不错的.