正方分割

作者 | 张远南

原载于 | 《概率和方程的故事》

一个人在学生时代的志趣, 对他一生将产生难以估量的影响.

1936年, 英国剑桥大学三一学院的学生塔特, 斯通, 布鲁克斯和史密斯, 同时对正方分割问题发生了兴趣. 正方分割是指：把正方形或矩形分割成边长不等的小正方形. 能够正方分割的正方形(矩形)便被称为完美正方形(矩形). 当时, 人们已经找出了长33, 宽32的矩形能够做正方分割. 如图所示.

尽管4名学生研究的课题是一致的, 但他们考虑的侧重点各不相同. 斯通打一开始就想证明, 不可能对正方形进行分割. 然而, 他没能证明这一点, 却在探索中找到了另一个可以正方分割的矩形 (图2) .

塔特等人则致力于研究正方形正方分割的理论, 但他们一直没能找到一个正方形可以正方分割. 经过几年的摸索和失败,他们开始倾向于斯通的看法, 即可以正方分割的正方形是不存在的.

但出人意料的是: 1939 年,德国柏林的斯普拉格居然成功地找到了一个能够正方分割的正方形. 这对塔特等人无疑是一个打击, 但挫折并没有使他们气馁,他们很快改变了自己的研究策略, 终于也找到了一个能正方分割成 39 块的正方形. 这一成果大大增强了他们继续研究的信心, 并开始了各自漫长的探索历程.

当年的大学生通过对正方分割的研究, 如今都成了蜚声数坛的组合数学专家和图论专家. 他们的研究成果被成功地运用到了电子、化学、计算机等领域, 成为造福人类的有力工具.

那么这 4 名大学生当年是怎样着手研究正方分割的呢? 说起来也简单: 先作一个矩形的正方分割草图, 然后用尽可能少的末知数, 标出每个正方形的边长,再写出这些边长应该满足的关系式, 最后解这个方程组.

例如, 先初拟一个如图3式样的正方分割的矩形草图, 标出图中相邻的3个正方形的边长 .

然后按照下列顺序标出其余小正方形的边长为

现在, 由矩形对边相等的条件得出 即

若令 , 即得 , 代入图中就得到本文最初讲的 的矩形的正方分割.

很明显, 如果我们进一步要求所拟草图是正方形,那么还必须加上条件

即

这样,方程组

就只能有 的解了. 这意味着这种草图的正方形的正方分割不存在.

对于解一次方程组, 大家都有这样的经验: 当末知数个数多于方程个数时, 方程组一般有无穷多组解; 而当末知数个数少于方程个数时, 方程组一般无解 ; 对于所有方程都不存在非零常数项, 且方程个数不少于末知数个数时, 方程组一般只有“零解", 正如上面大家看到的那样. 大概就是由于这种原因, 斯通当初才认定正方形的正方分割不存在.

自从 1939 年斯普拉格找到正方形正方分割之石, 人们的注意力便转移到寻求分割出的小正方形个数最少的 (即最低阶的)正方分割. 这方面值得一提的是, 英国业余数学家威尔科克斯曾经找到一个 37 阶的正方形正方分割. 这个纪录曾经保持了相当长的时间,直到他本人又找到一个 24 阶的新图形为止. 但这个新图形,由于内部构造可以分离出一个矩形,而使人感到美中不足.

令人兴奋的是: 1976 年,人们借助于电子计算机找到了21 阶完美的正方形正方分割 (图 4). 这已经是正方形能够正方分割的尽头, 因为理论上已经证明, 低于 20 阶的正方形正方分割是不存在的.

至此, 完美正方形的讨论暂时画上一个句号. 但数学家的研究并没有停止, 他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题, 此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上, 也取得了许多有趣的成果.