栅栏内的山羊吃草

作者 | Steve Nadis

译者 | 慕容玖

原载于 | Quanta Magazine

引入

这是一个听上去很简单的问题：想象一个圆形围栏围住了一块圆形草地. 如果一只山羊被绳子拴在栅栏内, 那么这跟绳子多长才能让山羊恰好吃到草场内一半的草呢？

听起来像中学平面几何题, 但数学家和数学爱好者们思考这一类问题已有270多年了. 虽然他们成功解决了一些特殊情形, 但山羊问题除了数值解外, 却一直没有精确解.

直到2020年年初, 一位名叫 Ingo Ullisch 的德国数学家(现为重庆大学研究员)终于取得了进展, 找到了被认为是该问题的第一个精确解——尽管这个方案显得很不友好.

问题溯源

山羊问题最早发表在1748年的伦敦期刊《女士日记》上——该出版物主要展示"艺术和科学的新进步, 以及许多有趣的细节".

最初的场景涉及"一匹被拴在公园里的马". 在这种情况下, 马被栓在圆形栅栏的外面. 如果绳子的长度与栅栏的周长相同, 那么马可以进食的最大面积是多少？这个版本随后被归类为"外部问题", 因为它涉及到在圈外而不是圈内放牧.

而答案：码的绳子可以得到平方码的面积, 直到1749年才出现在《女王日记》的期刊上, 答案的作者是根据对数表通过试验得到的近似解.

直到1894年, 《美国数学月刊》的第一期上重新出现了吃草的马, 但这次马进入到了栅栏内. Ullisch 解释说, 这种类型被归类为"内部问题", 并且比外部问题更具挑战性. 在外部问题中, 你从圆的半径和绳索的长度开始计算面积, 你可以通过积分来求解.

"扭转这个过程——从一个给定的区域面积开始逆向求解已知条件——这涉及更多知识, "Ullisch 说.

随后的几十年里, 《美国数学月刊》发表了很多类似的问题, 栅栏的形状有圆形、方形和椭圆形.

到了20世纪60年代, 山羊开始取代了马, 称为山羊问题.

山羊问题的精确解

最典型的山羊问题便是本文开头提到的栅栏内的山羊吃到一半草的问题.

2001年, Ullisch 从一个亲戚那里第一次听说山羊问题, 当时他还是个孩子. 在获得明斯特大学博士学位后, 他于2017年开始从事这项工作.

众所周知, 山羊问题可以简化为单个超越方程,

该方程包括正弦和余弦等三角项. 这是很大的障碍, 因为许多超越方程是难以解决的. 例如, 没有精确解.

但是Ullisch意识到他可以使用复分析来解决这个问题, 复分析是数学的一个分支, 将包括微积分在内的分析工具应用于含有复数的表达式. 复分析已经存在了几个世纪, 但据Ullisch所知, 他是第一个将这种方法应用于山羊问题的人.

通过这种策略, 他能够将他的超越方程等价的转换为绳索长度的表达式, 该长度可以让山羊在栅栏的一半面积内吃草. 换句话说, 他用确切的数学公式回答了这个问题.

其中角度为

所求绳子长度为

这就是精确解.[1]

遗憾的是, Ullisch给出的答案并不简单. 它是两个所谓的围线积分表达式之比, 中间还含有三角函数. 但是Ullisch仍然认为拥有一个精确解是有价值的, 即使它并不简洁. "如果我们只使用数值（或近似值）, 我们将永远无法了解答案的内在本质, "他说. "拥有一个公式可以让我们进一步了解答案的组成方式. "

数学家同行的评论

Ullisch暂时搁置了山羊问题的进一步研究, 但其他数学家正在努力实现他们自己的想法. 例如, Harrison在《数学杂志》上发表了一篇论文, 利用球体的特性来解决三维情形下的山羊问题.

数学家Meyerson指出：

在数学中, 想出求解答案的新方法通常很有价值——即使是以前已经解决过的问题, 因为也许这个方法可以推广用于其他问题.

这就是为什么如此多的数学家研究这个虚构的农场动物问题. Harrison说:

我的直觉认为, 解决山羊问题不会带来任何突破性的数学成果, 但谁知道呢, 新数学可以来自任何地方.

Hoffman更乐观. Ullisch 提出的超越方程与Hoffman在2017年发表的一篇论文中研究的超越方程有关. Hoffman对这些方程的兴趣又是由1953年的一篇论文激发的, 当时该论文以新的视角展示既定方法激发了进一步的工作. Hoffman看到了Ullisch 在复分析中将已知方法应用于超越方程的方式, 可能存在相似之处, 只不过这一次是在一个涉及山羊的新环境中.

Hoffman说

并不是所有的数学进步都来自人们取得根本性突破, 有时它包括寻找经典方法并找到一个新的角度——一种将各个部分放在一起的新方法, 最终可能会产生新的结果.

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