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冗长的方程

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如何判断方程有多少个解?
冗长的方程
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高中数学水平

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题目

关于的方程

有 __________个解.

选项

1

2

3

无穷多

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你能直接说出方程在复数域内有几个根吗?

根据代数基本定理, 次方程在复数域内有个根. 因此, 个根.

下面我们就来具体介绍一下代数基本定理及相关知识.

多项式方程

次方程即为次多项式方程,是形如这样的方程, 其中为自然数, 在复数域内取值, 为常数, 不为.

举个例子, 就是一个多项式方程. , 这些都不是多项式方程.

代数基本定理

代数基本定理是指, 复系数多项式方程在复数域内至少有一个根.

证明需要利用复变函数中的结论,这里就不介绍了. 感兴趣的请自行阅读参考书目[1].

定理的一个推论为, 任何一个 次复系数多项式方程在复数域内有个根(重根视为多个根)[2].

因为复系数多项式方程在复数域内至少有一个根, 等价于其有一个一次因式.

通过多项式除法, 不断把多项式除以它的因式, 复系数多项式在复数域上便可以分解成一次因式的乘积, 并且这个分解是唯一的.

比如方程, 是其中一解, 因此多项式的一个因式为,

通过多项式除法运算, 可以得到

再将二次式分解有

因此

于是方程 在复数域内一共有个解, 即

以上是通过具体例子来理解从定理到推论, 而严格的证明需要借助数学归纳法.

方程求根是一个重要的问题, 也很复杂. 虽然代数基本定理并没有给出根的一个具体的求法.

但是这个定理肯定了次方程有个复根, 在判断根的个数问题上还是可以大显身手的.

参考文献:

[2]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005:27.

推荐阅读:

[1] B. Fine and G. Rosenberger. The Fundamental Theorem of Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York, 1997.

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发布于3 年前
慕容玖
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发布于2 年前
天骄
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发布于9 个月前
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