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连续抛硬币

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平均抛多少次硬币会连续出现3次正面?
连续抛硬币
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本科数学水平

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题目

一枚硬币, 抛出正面和反面的概率都是, 现在连续抛这枚硬币, 直到出现连续3次正面朝上为止,那么平均要抛__________次.

选项

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假设一个事件发生的概率为, 那么在重复、独立的试验中, 平均要多少次试验, 这个事件才会发生一次?如果连续发生多次呢?

将这个问题具体化,

问题1:一枚硬币, 抛出正面和反面的概率分别是, 现在连续抛一枚硬币, 平均抛多少次会出现一次正面朝上?

抛一枚硬币, 我们有 的概率直接成功, 剩下 的概率失败, 如果失败了就需要花费 的期望成功.

解得.

问题2:条件不变, 平均抛多少次会出现连续2次正面朝上?

2次正面朝上需要在1次正面朝上的基础上再抛出一次正面朝上, 不妨设抛出一次正面朝上的期望次数为,那么再抛一次硬币, 有的概率出现正面, 游戏结束, 有的概率出现反面, 游戏就要重新开始. 于是, 有

解得

根据问题1, ,于是.

按照问题2的解决思路, 一般情况的也能求解了.

问题3:条件不变, 平均抛多少次会出现连续n次正面朝上?

n次正面朝上需要在n-1次正面朝上的基础上再抛出一次正面朝上, 不妨设抛出连续n次正面朝上的期望次数为,那么再抛一次硬币, 有的概率出现正面, 游戏结束, 有的概率出现反面, 游戏就要重新开始. 于是, 有

解得. 结合,

便得到了一个递推关系式, 根据数列的相关知识, 由递推关系可以得到通项公式.

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发布于3 年前
慕容玖
level4
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