随机排列问题
有
个不同元素的一个排列, 若将其重新随机排列, 那么有多少元素的位置不变?
事实上如果你直接计算, 那么式子会十分复杂.
我们不如先看个特殊例子,令
我们可以设期望为
这仅仅是
因此下面我们引入期望的线性性.
期望的线性性
期望的线性性:和的期望值等于期望值的和.
举个例子:假设投掷一个均匀的六面骰子, 得到的点数是一个随机变量
进一步,为了计算两次投掷点数之和的期望值, 我们可以分析所有可能的结果对:
解决原问题
现在我们可以解决开头的问题了.
设
而任何一个元素位置不变的概率均为
因此任意一个元素位置不变的期望为
那么位置不变的元素的数学期望为
所以期望不随