不同生日数

有个不同元素的一个排列, 若将其重新随机排列, 那么有多少元素的位置不变？

事实上如果你直接计算, 那么式子会十分复杂.

我们不如先看个特殊例子，令, 即三个元素随机排列后, 有多少还在原来的位置?

我们可以设期望为,则

这仅仅是时的情况, 如果用这种基本的方法, 计算量将令人望而生畏.

因此下面我们引入期望的线性性.

期望的线性性：和的期望值等于期望值的和.

举个例子：假设投掷一个均匀的六面骰子, 得到的点数是一个随机变量 , 即它可以取随机确定的任意值. 为了得到的期望值, 我们需要将每个可能的结果乘以其概率, 并将它们全部相加：

进一步，为了计算两次投掷点数之和的期望值, 我们可以分析所有可能的结果对：等. 但是根据期望的线性性, 两次投掷点数之和的期望值是每次投掷的点数期望值的和：

现在我们可以解决开头的问题了.

设, 如果第个元素的位置不变, 就令, 否则.

而任何一个元素位置不变的概率均为，

因此任意一个元素位置不变的期望为

那么位置不变的元素的数学期望为

$个$

所以期望不随改变始终为1.