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不同生日数

随机挑选100人, 有多少人生日不同?
不同生日数
4 人挑战成功
趣味数学挑战

完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

题目

随机挑选100人, 每个人都说出他的生日(不包括2月29日). 设是不同出生日期的数量,那么的期望值是 __________.

选项

随机排列问题

个不同元素的一个排列, 若将其重新随机排列, 那么有多少元素的位置不变?

事实上如果你直接计算, 那么式子会十分复杂.

我们不如先看个特殊例子,令, 即三个元素随机排列后, 有多少还在原来的位置?

我们可以设期望为,则

这仅仅是时的情况, 如果用这种基本的方法, 计算量将令人望而生畏.

因此下面我们引入期望的线性性.

期望的线性性

期望的线性性:和的期望值等于期望值的和.

举个例子:假设投掷一个均匀的六面骰子, 得到的点数是一个随机变量 , 即它可以取随机确定的任意值. 为了得到的期望值, 我们需要将每个可能的结果乘以其概率, 并将它们全部相加:

进一步,为了计算两次投掷点数之和的期望值, 我们可以分析所有可能的结果对:等. 但是根据期望的线性性, 两次投掷点数之和的期望值是每次投掷的点数期望值的和:

解决原问题

现在我们可以解决开头的问题了.

, 如果第个元素的位置不变, 就令, 否则.

而任何一个元素位置不变的概率均为

因此任意一个元素位置不变的期望为

那么位置不变的元素的数学期望为

所以期望不随改变始终为1.