没人点的菜

咖啡馆里, 一位心不在焉的女服务员根据订单, 拿了十种不同的饮料, 但她忘记了谁点了什么饮料. 那么有多少顾客能拿到自己点的饮料呢？如果服务员随机分配饮料, 我们就无法确定有多少顾客会得到他们实际购买的饮料. 但是, 我们可以求期望值.

也就是我们可以根据服务员的每种分配方式, 计算满意的顾客数量. 期望值将是所有这些数字的加权平均值, 用 表示.

这样做虽然在许多情况下很有用, 但会导致冗长而复杂的计算.

接下来我们要介绍期望的线性性，并利用它来解决问题.

期望的线性性：和的期望值等于期望值的和.

举个例子：假设投掷一个均匀的六面骰子, 得到的点数是一个随机变量 , 即它可以取随机确定的任意值. 为了得到的期望值, 我们需要将每个可能的结果乘以其概率, 并将它们全部相加：

进一步，为了计算两次投掷点数之和的期望值, 我们可以分析所有可能的结果对：等. 但是根据期望的线性性, 两次投掷点数之和的期望值是每次投掷的点数期望值的和：

简单多了！

现在我们可以解决开头的问题了. 让我们看看第一个顾客. 有两种可能性：他要么收到他点的饮料, 要么收到了其他饮料. 所以我们可以定义一个随机变量 . 当第一个顾客收到正确的饮料时等于 1, 否则等于零. 我们称这种零一变量为指标变量. 它们是一种特殊类型的随机变量, 在计算特定事件发生的频率时非常有用.

的期望值是多少？与掷骰子一样, 我们需要将每个可能的值乘以其概率. 因为对于第一个顾客, 只有十分之一的饮料是正确的, 所以等于1的概率为 , 等于零的概率为. 这意味着它的期望值为

当然, 我们可以为其他顾客定义类似的变量：为第二个客户定义, 为第三个客户定义, 等等. 根据对称性, 它们都有相同的期望. 令恰好获得他们原来订购的饮料, 这样的顾客数量为随机变量, 则

根据期望的线性性, 这等于

这说明如果服务员随机分配饮料，那么极有可能只有1位顾客能拿到自己点的饮料 .

看看期望的线性性如何帮助你解决今天的挑战！