咖啡馆里, 一位心不在焉的女服务员根据订单, 拿了十种不同的饮料, 但她忘记了谁点了什么饮料. 那么有多少顾客能拿到自己点的饮料呢？如果服务员随机分配饮料, 我们就无法确定有多少顾客会得到他们实际购买的饮料. 但是, 我们可以求期望值.
也就是我们可以根据服务员的每种分配方式, 计算满意的顾客数量. 期望值将是所有这些数字的加权平均值, 用
这样做虽然在许多情况下很有用, 但会导致冗长而复杂的计算.
接下来我们要介绍期望的线性性，并利用它来解决问题.
期望的线性性：和的期望值等于期望值的和.
举个例子：假设投掷一个均匀的六面骰子, 得到的点数是一个随机变量
进一步，为了计算两次投掷点数之和的期望值, 我们可以分析所有可能的结果对：
简单多了！
现在我们可以解决开头的问题了. 让我们看看第一个顾客. 有两种可能性：他要么收到他点的饮料, 要么收到了其他饮料. 所以我们可以定义一个随机变量
当然, 我们可以为其他顾客定义类似的变量：为第二个客户定义
根据期望的线性性, 这等于
这说明如果服务员随机分配饮料，那么极有可能只有1位顾客能拿到自己点的饮料 .
看看期望的线性性如何帮助你解决今天的挑战！