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大家在学习中学数学时一定接触过这样一条结论：原命题与逆否命题等价（同真同假）. 我们常常可以将原命题转化为其逆否命题来进行分析. 以上海2013理数数学16题为例：

通常我们会把命题写成“若则”的形式, 以便得到四种命题形式:

可以把题目中钱大姐的原话改写成“若则”形式的命题：

若东西是便宜的, 则它不是好货.

其逆否命题为：

若东西是好货, 则它不便宜.

而原命题与逆否命题等价, 同真（这道题的隐含条件是默认钱大妈说的话是正确的, 即为真命题）. 因此, 得到

$好货不便宜$

也为真. 也就是说, 好货是不便宜的充分条件, 不便宜是好货的必要条件, 故选.

在这里, 我们很自然地运用了“原命题与逆否命题等价”, 但是你有想过这一结论为什么成立吗？

在探究这个问题之前, 我们需要介绍“真值表”.

我们知道, 一个命题要么为真, 要么为假, 我们通常用“1”表示“真”, “0”表示“假”, 那么, 命题的真假值就可以在表格中表示出来了.

在逻辑学中, 有三种基本运算分别是且运算、或运算、非运算.

非运算很好理解, 对命题的真值取反即可, 且运算只有当真假值同为真时才为真, 或运算只有当真假值同为假时才为假. 用真值表表示如下：

$且或非$

同样地, 给出若则()的真值:

$若则$

通过真值表可以发现, 只有当为真, 为假时, “若则”才为假, 其他时候都为真.

这是为什么呢？我们来举个形象的例子来说明这种规定的合理性：

爸爸对小红承诺：如果小红期末考试数学成绩为优（）, 则他就带小红到黄山去旅游（）.这时会有四种情况发生：

① 小红成绩得优, 爸爸带她去旅游（真真）

② 小红成绩得优, 但是爸爸没有带她去旅游（真假）

③ 小红没有得优, 爸爸仍然带她去旅游（假真）

④ 小红没有得优, 爸爸没有带小红去旅游（假假）

情况①说明爸爸遵守了承诺, 所以“若则”为真；在情况③、④中小红没有得优, 所以不管爸爸有没有带小红去旅游, 都不能说爸爸违背了诺言, 所以“若则”仍然为真；而情况②说明爸爸没有信守诺言, 此时“若则”为假.

所以实际上“若则”的真值定义符合我们日常思维的逻辑, 只有当“真且假”时, “”才为假.

再来回到一开始的问题：原命题与逆否命题为什么等价呢？学习了真值表, 我们便可以解释了.

$非非若则若非则非$

可以看到, 的真假值与完全相同, 也即逆否命题与原命题等价.

节选自微信公众号大小吴的数学课堂《为什么原命题与逆否命题等价？》