从钱大姐说起
大家在学习中学数学时一定接触过这样一条结论:原命题与逆否命题等价(同真同假). 我们常常可以将原命题转化为其逆否命题来进行分析. 以上海2013理数数学16题为例:
通常我们会把命题写成“若
- 原命题:若
则 . - 逆命题:若
则 . - 否命题:若
则 (也可记作若 则 ). - 逆否命题:若
则 (也可记作 则 ).
可以把题目中钱大姐的原话改写成“若
若东西是便宜的, 则它不是好货.
其逆否命题为:
若东西是好货, 则它不便宜.
而原命题与逆否命题等价, 同真(这道题的隐含条件是默认钱大妈说的话是正确的, 即为真命题). 因此, 得到
也为真. 也就是说, 好货是不便宜的充分条件, 不便宜是好货的必要条件, 故选
在这里, 我们很自然地运用了“原命题与逆否命题等价”, 但是你有想过这一结论为什么成立吗?
真值表
在探究这个问题之前, 我们需要介绍“真值表”.
我们知道, 一个命题要么为真, 要么为假, 我们通常用“1”表示“真”, “0”表示“假”, 那么, 命题的真假值就可以在表格中表示出来了.
在逻辑学中, 有三种基本运算分别是且运算
非运算很好理解, 对命题的真值取反即可, 且运算只有当真假值同为真时才为真, 或运算只有当真假值同为假时才为假. 用真值表表示如下:
同样地, 给出若
通过真值表可以发现, 只有当
这是为什么呢?我们来举个形象的例子来说明这种规定的合理性:
爸爸对小红承诺:如果小红期末考试数学成绩为优(
① 小红成绩得优, 爸爸带她去旅游(
② 小红成绩得优, 但是爸爸没有带她去旅游(
③ 小红没有得优, 爸爸仍然带她去旅游(
④ 小红没有得优, 爸爸没有带小红去旅游(
情况①说明爸爸遵守了承诺, 所以“若
所以实际上“若
原命题与逆否命题
再来回到一开始的问题:原命题与逆否命题为什么等价呢?学习了真值表, 我们便可以解释了.
可以看到,
参考文献
节选自微信公众号大小吴的数学课堂《为什么原命题与逆否命题等价?》