内接正方形

今天的挑战题是比较圆的内接正方形和半圆的内接正方形面积关系，因此在正文里我们来介绍如何用尺规作图做出这两个图形吗？

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.

值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟现实中的并非完全相同,具体而言,有以下的限制：

• 直尺必须没有刻度,无限长,只可以做过两点的直线.
• 圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.

由于不能用直尺的转角作垂线,因此我们首先要学习尺规作图绘制垂线. 过任意点作直线的垂线步骤:

1. 以点为圆心,任意长为半径画弧,交分别于,点;
2. 以,为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点;
3. 连接,有.

现在我们已经掌握了绘制垂线的方法,因此在下面的篇幅中会省略上面繁琐的步骤.

接下来让我们用尺规作出圆的内接正方形:

1. 任意长为半径画圆,圆心记为点;
2. 过圆心作直径,交圆于点,;
3. 过圆心作的垂线,交圆于点,;
4. 连接点,矩形是圆的内接正方形.

那么如何在半圆中也作出内接正方形呢?

1. 任意长为半径画圆,圆心记为点;
2. 过圆心作直径,交圆于点,;
3. 过点作垂线;
4. 取(圆规);
5. 连接与圆交于点;
6. 依次作垂线和;
7. 连接,矩形是半圆的内接正方形.