慕容玖
橘子数学社区核心成员
2021年06月19日 12:00
今天的挑战题是比较圆的内接正方形和半圆的内接正方形面积关系,因此在正文里我们来介绍如何用尺规作图做出这两个图形吗?
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟现实中的并非完全相同,具体而言,有以下的限制:
- 直尺必须没有刻度,无限长,只可以做过两点的直线.
- 圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.
由于不能用直尺的转角作垂线,因此我们首先要学习尺规作图绘制垂线.
过任意点
- 以
点为圆心,任意长为半径画弧,交 分别于 , 点; - 以
, 为圆心,大于 长为半径画弧,两弧交于 点; - 连接
,有 .
现在我们已经掌握了绘制垂线的方法,因此在下面的篇幅中会省略上面繁琐的步骤.
接下来让我们用尺规作出圆的内接正方形:
- 任意长为半径画圆,圆心记为点
; - 过圆心
作直径,交圆于点 , ; - 过圆心
作 的垂线,交圆于点 , ; - 连接点
,矩形 是圆 的内接正方形.
那么如何在半圆中也作出内接正方形呢?
- 任意长为半径画圆,圆心记为点
; - 过圆心
作直径,交圆于点 , ; - 过点
作 垂线; - 取
(圆规); - 连接
与圆交于点 ; - 依次作垂线
和 ; - 连接
,矩形 是半圆 的内接正方形.
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发布于3 年前
慕容玖
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评论
0几何证明很难想,也很巧妙。之前挑战题有一道“正方形内的正方形”,可以给这道题一点灵感。
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