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河上荡杯

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《九章算术》对分数的运算规律进行了总结,主要是写于均输章. 请你来挑战一下著名的"河上荡杯"题吧.
河上荡杯
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完成本期挑战需要达到:

大众数学水平

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题目

古文:今有妇人河上荡桮,津吏问曰:“桮何以多?”妇人曰:“家有客. ”津吏曰:“客几何?”妇人曰:“二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用桮六十五,不知客几何. (选自《孙子算经》)

注:(桮,古同杯,器皿. 为了方便理解,解题思路中用“碗”)

现代文:一个妇人在河边洗碗,官吏问,为什么洗这么多碗,妇人回答,家里来了客人. 官吏又问,来了多少客人?妇人回答,每两位客人共用一只饭碗,每三位客人共用一只汤碗,每四位客人共用一只肉碗,一共用了65只碗,一共来了__________位客人.

选项

65

60

55

50

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我国古代的众多书籍之中,很多都有分数的影子;比如,战国时魏相李悝(前455 — 前395年)所著《法经》中开列了一个五口农家年收支的细帐. 实际上是一道包括分数乘法在内的复杂的四则应用题.

此外,律学中三分损益法的应用和古代黄帝、颛顼、夏、殷、周、等六部历法采用复杂的分数数据,这些都说明至迟在战国时代,中国人已掌握了分数四则运算的规律.

《九章算术》则对这些运算规律作了总结,书中把分数的加、减、乘、除分别称为合分、减分、乘分和经分.

经分术紧接在一道分钱题后,故曰: “以人数为法,钱数为实,实如法而一. 有分者通之,重有分者同而通之.” 这里的 “重有分者,就是除数与被除数皆为分数的情况.

为此刘徽注道: “又以法分母乘实,实分母乘法. 此谓法实俱有分,故令分母乘全内子,又令分母互乘上下. ”

这也就是将被除数与母、子颠倒后的除数相乘,用数学符号写出来即

刘徽所说的 “乘全内子”,系对带分数进行通分,如 即为“乘全”,再加1即为“内(纳)子”.

《九章算术》还有课分、平分两术:前者与减分类似,目的是比较分数的大小;后者是求若干分数的平均值,又与合分经分有关.

​ 分数概念既然是由“实不满法”所导出的,那么它除了可以被看作一个实在的数外,也可以被看成一对实与法的比,分数运算的过程就是要做到“法实相推”,不同类的法实比率则需通过齐同术来化为同类,这样就可以把分数理论纳入到内涵更丰富的比率理论之中了.

刘徽等中国古代数学家正是利用比率性质来解释一些应用问题的,现在我们用下面这道例题来说明:

例题

古文:今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海. 今凫、雁俱起,问何日相逢? 注:凫为野鸭.

现代文:野鸭从南海起飞,七天可以到达北海;大雁从北海起飞,九天可到达南海. 假设野鸭、大雁同时起飞,他们需要多少天相遇?

题解

假设南海与北海之间的距离为,则野鸭的飞行速度为 ,大雁的飞行速度为

假设两者同时起飞,它们的速度和为

所以,相遇需要的天数为 .

参考文献:

[1]夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.

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发布于3 年前
慕容玖
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0666.laosh老师出得题好,EZDr.Zhu发表于3 年前
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5

发布于3 年前
宣文
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0厉害了? 橘子老君发表于3 年前
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3

发布于3 年前
后浪
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