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5家共井问题和百鸡问题

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世界上最早的不定方程:5家共井问题;世界上最有名的不定方程:百鸡问题
5家共井问题和百鸡问题
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题目

古文: 今有鸡翁一,值钱五; 鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?(选自《张丘建算经》)

现代文:公鸡一只值钱五,母鸡一只值钱三,小鸡三只值钱一.今有一百钱,买鸡一百只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?

小鸡的数量不可能是 __________.

选项

84

81

78

72

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说到方程,最简单的是一元一次方程,就是一个未知数,一个方程构成的,还有二元一次方程组,三元一次方程组,他们的未知数个数与方程个数是相等的,但还有一类方程,未知数个数多于方程的个数,比如:,是由两个未知数,一个方程构成的,这类方程的解由无数多个,由于这类方程的解是不定的,数学上就把它叫做不定方程.

对不定方程的研究,我国古代很早就开始了,《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”,就是突出的一例,题目大意是:

五户人家各出固定长度的绳索作井绳,已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳,以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深,问井深和各户绳长各几何?

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原书虽无解答过程,但附有答案:井深、甲、乙、丙、丁、戊绳长各为721、265、191、148、129、76寸.

这个答案对吗?其实这是一个不定方程组问题,设井深为个单位长度,甲、乙、丙、丁、戊绳长分别为个长度单位,那么依题意得方程组

这个方程组是由6个未知数和5个方程构成的六元一次不定方程组.

由 (1)得 .(6)

(6)代入( 2 )得

(7)

(7) 代入( 3 )得

(8)

(8)代入( 4 )得

(9)

(9) 代入(5)得

(10)

方程(10)是二元一次不定方程, 它的解有无数个.

由观察可知, 时,

从而得

,

如果取寸为单位长(这比较符合实际),就得原书的答案.

这个不定方程组是世界上最早的一个.

这以后,我国数学家继续对不定方程进行了研究,其中最著名的是公元五世纪《张丘建算经》上记载的”百鸡问题“.

古文: 今有鸡翁一,值钱五; 鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?

现代文:公鸡一只值钱五,母鸡一只值钱三,小鸡三只值钱一.今有一百钱,买鸡一百只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?

《算经》上给了解法和答案,而且答案极其完善,这说明我国研究不定方程已达到相当高的水平.

而且百鸡问题在中国数学史上具有隽永的魅力,历代文献不乏记载,并且百鸡问题在世界上流传也很广.百鸡问题是研究中世纪数学交流的一条重要线索.

你来挑战一下”百鸡问题“吧!

参考文献

[1] 夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.

9

发布于3 年前
慕容玖
level0
1CASIO,yydsDr.Zhu发表于3 年前
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