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立体幻方

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洛书可认为是最早的幻方,幻方还有各种变形,今天我们来看看立体幻方.
立体幻方
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完成本期挑战需要达到:

大众数学水平

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题目

如图,是一个四面体,请用数字1-12填写图中圆圈,要求使得每个面上的数字之和都为一个定常数,每个面数字之和为 __________.

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选项

13

26

39

42

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在组合数学中有一种图形,西方多称为magic square,而国人常称为幻方,就是将自然数 排入列的方阵中,使得每行每列与两条对角线上的和均为.

中国是幻方的诞生地,洛书可谓是最早的三阶幻方: image

最早从数学角度研究幻方的是杨辉,除了洛书之外,还有较高阶幻方,四阶幻方,五阶,直至十阶幻方,当然杨辉还研究了变形幻方。

杨辉之后,中算家对变形幻方研究不断,南宋有丁易东的《大衍索隐》、在明有程大位的 《算法统宗》和王文素的《古今算学宝鉴》,在清有张潮的《心斋杂俎》,保其寿的《增补算法浑圆图》.

下面我们看看保其寿的研究.保其寿推广幻方到三维,自称“立方与浑圆尤为可喜”.

保其寿的浑圆图是在立体的顶点、边线与面上,标以诸数,使得具相同的边数的面,其上诸标数的和为一定数.诸面若共用一边或一顶点,则该边与该顶点上的标数,在检验定和现象时,由各面重复使用.这种标数方法称为「定和标法」.

保其寿先处理了五个正多面体:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体.

在此我们只介绍正六面体.

  • 顶点型标法

如下图1是互补数对 (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) 的巧妙安排.因为只有顶点有标数,我们称其为「顶点型标法」.原文所谓「八子作二十四子用」,就是每个顶点被三个面使用,便相当于有二十四个标数.

image 图1

  • 边线型标法

如下图2也是互补数对的安置法,因为只有边线有标数,我们称其为「边线型标法」.

image 图2

  • 叠合法

如下图3顶边中间的标数二,应该是二十,本页最要紧的一句话是「合前二法成此」,也就是说前两个图既然各面已具有定和,则把它并成一图,各面标数和仍然相等.但为了使最终的标数是 1, 2, 3, ……, n ,须把图2各数加8,因为各面均为四边形,如此只使原来的定和增加24.总之我们可以说保其寿运用了「叠合法原则」,从旧的浑圆图造出新的浑圆图.

image 图3

保其寿最突出的创作是「六道浑天图」,就是在球面上交错缠上六条纸带,把纸带与纸带的交点当作顶点,顶点与顶点间的纸带当作边线.我们欣赏一下:

image

最后,请你构造一个四面体幻方吧.

参考文献

[1] 李國偉. 論保其壽的渾圓圖.https://sites.google.com/a/g2.nctu.edu.tw/unimath/2017/2017-05/%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%8F%B2%E8%AB%96%E4%BF%9D%E5%85%B6%E5%A3%BD%E7%9A%84%E6%B8%BE%E5%9C%93%E5%9C%96

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发布于4 年前
慕容玖
level4
1中国版的数独了发表于4 年前
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发布于3 年前
level0
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