完成本期挑战需要达到:
初中数学水平
某种流感病毒的基本再生数为
那么至少需要总人口的__________接种疫苗, 才能实现群体免疫.
作者 | Patrick Honner
译者 | 慕容玖
原文发布于 Quanta Magazine
橘子数学经授权发布
假设你听到一个令人兴奋的传闻, 忍不住想分享. 但你讨厌散布谣言, 权衡之下, 你决定只告诉一个人, 然后就保持沉默. 这看起来没什么大不了, 对吧?毕竟, 如果你告诉的那个人采取同样的策略, 只告诉另一个人, 那么这个传闻也不会传播得太广. 如果每天有一个新的人听到这个传闻,
但是如果你告诉两个人, 情况会如何?结果可能出乎意料. 如果每个人每天都将这个传闻告诉两个新的人, 那么
在第一个场景中, 传闻每天传递给与前一天相同数量的人. 这意味着每天听到传闻的新人数是恒定的. 在我们的例子中, 这个数字是
但如果每天传递给前一天的人数翻倍, 新听到传闻的人数将呈指数增长:第一天有两个人听到, 第二天有四个人, 第三天有八个人, 依此类推. 在第
为什么这两个场景之间有如此巨大的差异?这与线性函数和指数函数有关. 线性函数的特征是恒定的变化率, 如每天有一个新的人听到传闻. 线性增长是缓慢而稳定的, 每次增加相同的数量. 而指数函数的特征是变化率呈倍数增加:两个人、四个人、八个人、十六个人, 等等. 与线性增长不同, 指数增长是加速的——增长的量本身也在增加.
这就是
这个基本的数学模型抓住了特定类型传播的本质, 影响的不仅仅是谣言的传播. 同所有基本模型一样, 它忽略或简化了许多复杂因素——例如传播的可能性和总体人口规模——但这是探索观点传播、人口增长以及疾病传播的一个很好的起点.
感染病的传播方式与传闻类似:某人感染, 然后传染给他人. 当然, 两者之间存在差异, 但基本的数学模型在两种情况下都很有用. 在关于传闻的简单例子中, 我们看到传闻的传播率看似微小的差异会导致最终听到它的人数有巨大差异. 对于传染病也是如此:将感染传给一个人和传给两个人之间的差异, 可能是几例孤立病例与流行病之间的区别.
每种可传播的疾病在社区中的传播速度取决于一组独特的生物学、环境和社会因素. 流行病学家试图用感染的“基本再生数”(basic reproduction number)来总结所有这些因素的影响. 这个数值表示每个感染者预计会产生的新感染数, 通常记为
以下是一些众所周知疾病的基本再生数:
疾病 | R₀ |
---|---|
麻疹 | 12-18 |
天花 | 5-7 |
腮腺炎 | 4-7 |
流感(1918年大流行株) | 2-3 |
注意, 这些疾病的基本再生数都大于
这就是疫苗接种的作用. 当接种疫苗后, 个体会对疾病产生抵抗力:成功率各不相同, 但为了简单起见, 我们假设疫苗接种可提供对疾病的完全免疫. 疫苗接种直接惠及接种者, 但也间接惠及更广泛的人群. 如果社区中的许多人接种了某种疾病的疫苗, 该疾病的传播速度将减慢.
实际上, 广泛的疫苗接种可以帮助降低疾病的有效再生数. 如果足够多的人接种了疫苗, 疾病的有效再生数实际上可以降低到
让我们思考一下基本再生数真正告诉我们的信息. 考虑一个基本再生数
假设一个感染了流感病毒(
每个接触者都有可能感染流感, 但由于
一般来说, 我们可以说每个人有
但假设这
因此, 如果每
再次假设我们的初始感染者在感染期内接触了
经过简单的代数运算, 我们发现
疫苗接种实际上将这
现在, 其余
这个过程可以推广到任何基本再生数
代表新感染人数. 我们希望这个值等于
求解
这意味着, 如果总人口中接种疫苗的百分比为
在这个疫苗接种水平,即总人口的
显然, 针对疾病的疫苗接种不仅对接种者有潜在益处, 对社区也有益处. 当达到群体免疫的阈值时, 疾病在群体中传播的速度被控制在足够低的水平, 以避免潜在的灾难. 广泛的疫苗接种将左图中疾病可能在群体中传播的众多路径, 转变为右图中更少的传播路径, 从而减缓增长并降低流行病爆发的可能性.
群体免疫的一个重要特征是它也惠及未接种疫苗的个体. 由于疾病不太可能广泛传播, 每个人的风险都降低了——包括未接种疫苗的人. 这对某些情况下不宜接种疫苗的人尤为重要, 如婴儿、老人和体弱者. 尽管我们在此假设疫苗接种是
我们已经看到了线性增长和指数增长之间的巨大差异. 对于疾病传播而言, 这可能是生死攸关的问题. 理解疫苗接种和群体免疫背后的数学至关重要, 所以告诉你的朋友吧. 更好的是, 告诉两个.