作者 | 华罗庚
大家都知道, 数学归纳法有帮助我们“进”的一面, 现在我想谈谈数学归纳法帮助我们“退”的一面. 把一个比较复杂的问题, 退成最简单最原始的问题, 把这个最简单最原始的问题想通了, 想透了, 然后再用数学归纳法来一个飞跃上升, 于是问题也就迎刃而解了.
我们还是举一个具体的例子来谈.
这是一个有趣的数学游戏. 但它充分说明了, 一个人会不会应用数学归纳法, 在思考问题上就会有很大的差异. 不会应用数学归纳法的人, 要想解决这个问题着实需要些“聪明”, 但是融会贯通地掌握了数学归纳法的人, 解决这个问题就不需要多少“聪明”了. 问题是这样的：
有一位老师, 想辨别出他的三个得意门生中哪一个更聪明一些, 采用了以下的方法：事先准备好5顶帽子, 其中3顶是红色的, 2顶是蓝色的. 在试验时, 他先把这些帽子让学生们看了一看, 然后要他们闭上眼睛, 替每个学生戴上一顶红色的帽子, 并将2顶蓝帽子藏了起来, 最后再让他们张开眼睛, 请他们说出自己头上戴的帽子, 究竟是哪一种颜色. 三个学生互相看了看, 踌躇了一会儿, 然后他们异口同声的说, 自己头上戴的是红色的帽子.
他们是怎样推算出来的呢？怎样能够从别人头上戴的帽子的颜色, 正确的推断出自己头上戴的帽子的颜色的呢？
现在, 我们来揭晓谜底：甲乙丙三个学生是怎样想的.
甲这样想：{如果我头上戴的是蓝帽子, 那么乙一定会这样想：[如果我头上戴的是蓝帽子, 那么丙一定会这样想：(甲乙两人都戴了蓝帽子, 而蓝帽子只有两顶, 所以自己头上戴的是红帽子. )这样, 丙就会脱口而出地说出他自己头上戴的是红帽子. 但是他为什么要踌躇？可见自己<指乙>头上戴的是红帽子. ]如果这样乙也会接下去说出他自己头上戴的是红帽子. 但是他为什么也要踌躇呢？可见自己<指甲>头上戴的不是蓝帽子}
经过这样思考, 于是三个人都推出了自己头上戴的是红帽子.
读到这儿, 请你想一下, 想通了没有？有些伤脑筋吧！
学过数学归纳法的人会怎样想呢？他会先退一步（善于退, 足够的退, 退到最原始而不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍！）, 不考虑三个人而仅仅考虑两个人一顶蓝帽子的问题. 这个问题谁都会解, 蓝帽子只有一顶, 我戴了, 他会立刻说：自己戴的是红帽子. 但是, 他为什么要踌躇呢？可见我戴的不是蓝帽子而是红帽子. 这就是说, 两个人, 一顶蓝帽子, 不管多少（当然要不少于2）顶红帽子的问题, 是一个轻而易举的问题.
现在我们来解上面这个比较复杂的“三个人, 两顶蓝帽子, 不管多少（当然要不少于3）顶红帽子”的问题也就容易了. 为什么呢？如果我头上戴的是蓝帽子, 那么对于他们两个人来说, 就变成“两个人, 一顶蓝帽子”的问题, 这是他们两人应当立刻解决的问题, 是不必踌躇的. 现在他们在踌躇, 就说明了我头上戴的不是蓝帽子而是红帽子. 这里可以看到, 学会了数学归纳法, 就会得运用“归纳技巧”从原来的问题里减去一个人, 一顶蓝帽子, 把它转化为一个简单的问题.
倘使我们把原来的问题再搞得复杂一些：”四个人, 3顶蓝帽子, 若干（不少于4）顶红帽子“, 或者更一般地, ”n个人, n-1顶蓝帽子, 若干（不少于n）顶红帽子”这样复杂的问题, 我们也可以用以上的思想来解决了. 读到这儿, 读者可能领会到两点：
应用数学归纳法可以处理多么复杂的问题, 懂得它的人, 比不懂它的人岂不是“聪明”得多.
归纳法的原则, 不但指导我们进, 而且还教会我们退, 把问题退到最朴素易解的情况, 然后再用归纳法飞跃前进. 这样比学会了“三人问题”, 搞“四人问题”, 搞通了“四人问题”再尝试“五人问题”的做法, 不是要爽快的多！
当然, 我们也不能完全排斥步步前进的做法. 当我们看不出归纳线索的时候, 先一步一步地前进, 也还是必要的.
脚注
- 原文发表于《数学小丛书15数学归纳法》