对称变换

我们知道等腰三角形底边上的高是其对称轴, 将等腰三角形沿着它的对称轴折叠, 则对称轴两旁的部分完全重合. 我们称这种变换为反射变换.

如果将一个正方形绕它的中心O逆时针旋转180°后, 可知得到的图形与原来的图形重合. 那么这种变换称为以点O为中心转180°的旋转. 如果不局限于180°, 即平面图形以一个固定点为中心转任意给定角度的旋转, 便称为旋转变换.

可以发现, 反射变换和旋转变换有一个共同的特点, 保持距离不变, 称为“保距性”, 也就是说, 对于平面内的任意两点P和Q,在反射或旋转变换的作用下的对应点是M和N, 那么M到N的距离等于P到Q的距离.在数学中，我们把保持任意两点间距离不变的变换叫做等距变换. 因此反射变换和旋转变换都是等距变换。

如果一个平面图形F在一个等距变换的作用下仍与原来的图形重合, 则称为F的一个对称变换或称图形F具有对称变换. 此时, 我们也说, 图形F在等距变换的作用下保持不变.

一个图形的全部对称变换, 正好能反映出这个图形所有的对称性. 所以, 我们可以通过研究一个图形的全体对称变换来认识图形的全部对称性.

那么下面我们来研究一下正三角形有哪些对称变换.

对于正三角形而言, 如果是的一个对称变换, 那么一定保持的中心不变. 因此, 它或者是以O为中心的旋转变换, 或是关于经过中心O点的直线的反射变换.

以为中心, 分别以 为旋转角的3个旋转变换, 是正三角形全部旋转对称变换.

如图, 为了更容易看出旋转变换的变化情况, 我们在三角形一个角上作了标记.

关于的轴反射变换, 是正三角形ABC的全部轴反射对称变换.

因此, 正三角形ABC共有6个对称变换, 其中3个旋转变换, 3个反射变换. 通过观察上图中正三角形ABC的顶点位置, 可以看出这6个对称变换的变化情况.

那么类似的, 你能找出正方形的所有对称变换吗？