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无限的分割和涂色

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无限的分割正方形并将一部分着色, 求着色部分面积.
无限的分割和涂色
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完成本期挑战需要达到:

高中数学水平

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题目

如图, 一个正方形被均分成四份, 将左上角四分之一份涂色, 再对右下角四分之一份进行上述操作, 即分割涂色, 如此不断下去, 求着色部分面积是整个正方形面积的 __________.

fyfLCpRSd_UykZIRsUluajn1d6n-17sht

选项

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谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子(自相似是近乎或确实和它的一部分相似).

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分形,是几何学术语,通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”.

我们来看这样一个问题.

有一个大三角形,联结三角形各边的中点得到一个小三角形,再联结这个小三角形各边的中点又得到一个更小的三角形,如此无限继续下去.问黄色阴影部分占整个大三角形的面积是多少? fCDMu5r5or5XnkoWtpI3W87_qINLrZqlp

此图可以看成是如下图所示的一系列图形叠加,中间白色区域由下一个同系列的图形填充,如此无限继续下去. f75em60J48hB57NGcEIs9Tz2onU0Cn4KE

将上图分解成若干个全等的三角形,则有12个黄色三角形,3个蓝色三角形,总共有15个小三角形,因此黄色部分所占比例为, 即 .

将这一系列图形叠加起来,黄色阴影部分占整个大三角形的面积仍是.

fmiSu0_or0vYU0O2Iyjo-SiAlu7d-kg6f

今日挑战题,你能看出与本题设计的异曲同工之处吗?尝试用本题的方法来解决问题吧.

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发布于2 年前
慕容玖
level4
01/3a+1/3b+1/3c+……+1/3n+……=1/3(a+b+c+……+n+……)白云发表于2 年前
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