吹蜡烛

有根燃烧的蜡烛, 第一次吹蜡烛后, 有可能吹灭1根, 也有可能吹灭2根, 且概率相等. 如果吹灭了一根, 剩余一根燃烧的, 那么下一次就可以直接吹灭. 问平均需要吹多少次可以吹灭所有蜡烛?

设为当有根燃烧的蜡烛时全部吹灭的次数期望.

当有0根燃烧的蜡烛时, 有.

当有1根燃烧的蜡烛时, 可以一次吹灭它, 此时有.

那么当有两根燃烧的蜡烛时, 吹1次, 可能吹灭一根, 也可能吹灭两根, 且它们的概率是相同的.

如果吹灭一根,那么就需要再吹次. 如果吹灭两根,那么就需要再吹次. 因此

因此吹灭2根蜡烛的次数期望是1.5次.

如果有根点燃的蜡烛, 平均需要吹多少次可以吹灭所有蜡烛?