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在文章《武汉10天核酸检测1000万人？》中我们提到，

武汉之所以能在10天内完成千万人级的检测是由于采用了混样检测的方式，即将10个人的样本混合为1个样本池进行检测，若结果为阴性说明10个人中没有感染者，若结果为阳性则逐个再检测一次. 这样就可以大大减少总的检测次数. 而后我们通过考虑使最坏情况下的检测次数最小，利用基本不等式得到了数学上最优的分组方式.

当老君把上期文章分享到某学霸群，获得了以下反馈：

所以本期将从概率视角重新审视混样检测的问题.

概率模型

既然从期望角度看此问题，首先需要确定所要研究的随机变量. 而混样检测的总次数依赖于每个样本的性征，所以不妨设“每个样本的阳性与否”为相互独立的随机事件，那么不妨将"平均每个样本所消耗的检测次数"作为所要研究的随机变量.

设被检测对象的核酸检测结果呈阳性的概率为，每份样本池混合个样本，则有：

如果样本所在的样本池检测结果为阴性，那么该样本池中每个样本平均消耗的检测次数为，而该随机事件可看作是k次独立重复随机试验(伯努利试验)的结果，故概率为;
如果样本所在的样本池检测结果为阳性，那么该样本池中每个样本平均消耗的检测次数为，而该随机事件同样可以看作是次独立重复随机试验的结果，概率为.

故

最优分组及灵敏度分析

利用计算机，通过枚举p的不同取值(0.0001~0.02)，并分别求出对应的的最小值，我们得到的结果如下：

进一步地，我们可以分别画出最优的和关于的曲线:

观察以上结果我们可以发现，随着的增大，所对应最优分组的值随之减少，从100.5多开始迅速下降且下降的速率逐渐趋缓. 所对应最优分组的随之增大, 与近似呈线性关系.

这意味着当较大(目测小于0.5%)时，最优分组的值对的变化极为敏感.

另外，最优分组的与呈线性关系意味着，用混样检测方式相比逐个检测所获得优势随着增大而逐渐减弱.

本文最早于2020年5月29日发布于橘子数学公众号.