切割三角形

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形就是直角三角形, 最长边所对的角为直角. 这就是勾股定理的逆定理. 从定理的内容可以看出, 它可以用来判断三角形的形状.

那么勾股定理的逆定理怎么证明呢？

证明方法有很多, 在这里我们给出3种证法.

题目：已知中, 三条边长满足, 求证是直角三角形.

证法一 平面几何

作一个直角三角形 , 使 .

根据勾股定理, .

在 和 中,

,

因此 , 即 是直角三角形.

证法二 余弦定理

根据余弦定理, 在中,

由于 因此

由于三角形内角小于, 因此

证法三 向量内积

如图，三角形三条边所在向量记为

因此

即

两边平方有

结合已知条件有

于是

因此

即