闪烁的彩灯

小橘和小明约定下午点在书店见面. 如果小橘先到, 她会等分钟. 如果小明先到, 他会等分钟. 点之后二人都会离开. 小橘和小明相遇的概率是多少？

这个概率问题不是我们熟悉的古典概型, 因为我们认为时间是连续的, 具体的时刻是无限的, 所以无法计数. 在这个问题中, 基本事件是一个人在某个时间段内的某个时刻到达, 根据题意, 基本事件虽然是无限的但是是等可能的. 那么这类问题我们如何求解呢？几何概型.

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果是无限个.

回到我们开头的问题, 让我们建立几何概型, 用面积比来计算概率. 不妨设和分别表示小橘和小明的到达时间, 其中和为区间内的随机变量.

显然当时小橘先到, 时小明先到. 所以可以分为两种情况:

1. 如果, 那么如果, 小橘和小明就会相遇, 即;
2. 如果, 那么如果, 小橘和小明就会相遇, 即.

如图建立直角坐标系. 边长为的正方形及其内部点代表了小橘和小明所有可能的到达时间. 直线表示二人同时到达. 该直线上方表示小橘先到达. 直线下方表示小明先到达.

现在我们只需做出和. 其中阴影部分满足相遇的条件. 因此小橘和小明相遇的概率为