分配小球

提出问题

现在你有50颗红球, 50颗蓝球以及两个罐子. 你可以任意分配这100颗球进入这两个罐子, 记住全部球都必须被放进去. 放进去之后, 从两个罐子之中随机选一个罐子, 再随机从里面拿出一颗球, 选中红球的概率是多少呢?

计算过程

我们可以设左边罐子的红球数量为, 蓝球数量为;右边罐子红球数量为, 蓝球数量为.

从任何一个罐子里拿出红球的概率等于罐子里的红球的数量除以罐子里的小球总数. 因此挑选到红球的概率是第一个罐子里挑出红球的概率的0. 5倍+第二个罐子里挑出红色的概率的0. 5倍. 即

由于每种小球只有50个, 所以, 同样, .

这就给了我们一个只有两个变量的方程

绘制图像

我们可以用计算机绘制出上面的函数图像. 下图中轴在左边, 在右边.

我们可以看到图中最高的概率已经超过了, 那么你能参考该图想出最优的分配策略吗?

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.lib.function_base import meshgrid


x,y=meshgrid(np.arange(0,51,1),np.arange(0,51,1))
z=0.5*x/(x+y)+0.5*(50-x)/(100-x-y)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z)

plt.show()