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五猴分桃

5只猴子有一堆桃子，是它们的公共财产，它们要平均分配，但怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分. 夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等分，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理. 问题来了，最初至少有多少个桃子？

据说, 这个问题是由英国物理学家、诺贝尔物理学奖得主狄拉克提出来的. 1979年春天, 美籍物理学家李政道, 在跟中国科学技术大学少年班同学座谈时, 也提出过这个题目. 当时, 谁也没有能够当场作出回答, 可见这个题目有点难.

动手又动脑

做数学题目，光凭脑子想，是不容易找到方法和得到结果的. 我们来动手写写算算吧.

设原有桃个, 最后剩下个. 那么, 每一只猴子连吃带拿, 得到了多少桃子呢?

第一只猴子吃了个, 又拿走了剩下的个的, 一共得到.

它走了, 这里留下的桃子还有.

第二只猴子连吃带拿, 得到了桃子.

也就是又从原数中减、再乘.

现在, 我们找到解题的思路了:每来一只猴子, 桃子的数目就来个变化——减、再乘. 所以, 当第五只猴子来过后, 我们已对进行次这样的减、乘的操作了.

第五只猴子连吃带拿, 得到了桃子，

耐心的整理一下，能得到，

即

因为和都是正整数, 而与互素, 所以的次方整除.

这样我们就可以算出至少是.

方法靠人找

狄拉克本人, 提出过一个简单的巧妙解法. 据说数学家怀德海, 也提出了一个类似的解法.奇怪的是狄拉克和怀德海都没有想到, 这个问题还有一个十分简单的解法. 它只用到一点算术知识, 是小学生也能算出来的.

这个简单的解法, 它的思路是从“儿子分羊”来的, 又是先借后还!

桃子不是分不匀, 总要剩下1个吗?问题的麻烦, 就是因为多了1个桃子.好. 你来扮演一个助猴为乐的角色, 借给猴子4个桃, 这不就可以均分成5堆了嘛. 反正最后还剩一大堆,你拿得回来的.

现在, 让5只猴子再分一次. 桃子虽然多了4个, 可是第一个猴子并没有从中捞到便宜. 因为这时桃子正好可以均分成5堆, 它拿到的1堆, 恰巧等于刚才你没有借给它们4个桃子时, 它连吃带拿的数目.

这样, 当第二只猴子到来时, 桃子的数目, 还是比你没借给它们时多了4个, 又正好均分成5堆. 所以, 第二个猴子得到的桃子, 也不多不少, 和原来连吃带拿一样多.　

第三、第四、第五只猴子到来时, 情况也是这样.

5个猴子, 每一个都恰好拿走当时桃子总数的, 剩下;而开始的时候桃子的数目是(加上你借给它们的4个).

这样, 到了最后便剩下

个桃子, 这比剩下的个多4个.

所以得到.　

跟刚才的结论一样.

同样的结论, 可是得来全不费工夫!

问个为什么

题目做出来了. 你不妨再想一想:这一借一还究竟是怎么回事呢?为什么一下子就把问题简化了呢?

关键在于, 猴子每来一次, 桃子的数目发生了什么变化?

在你没有借给它们4个桃子的时候, 那情况是每来一只猴子之后, 桃子数就减1、再乘, 来5个猴子之后, 就等于对x进行5次减1、乘. 你看, 减1乘, 再减1、乘, 再减1乘, 再减1、乘, 再减1、乘, 这一串运算多麻烦.

要是你先借出4个桃子, 使每一个猴子来拿走, 然后你再把4个桃子拿回来, 结果, 和前面的计算结果完全一样. 这个过程, 相当于对桃子数目加4、乘、再减4.

也就是说: 减1、乘, 相当于加4、乘、再减4. 用字母表示, 就是.

不信, 你算一算, 两边确实是恒等的. 这样看来, 猴子每来一次, 桃子数的变化有两种计算方法: 一种是减1、乘, 另一种是加4、乘、再减4.

后一种计算方法是三步, 看起来好象更麻烦了其实, 多次连续进行计算就显出它的优越性来了.

你加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4.

这中间有四次减4、加4, 互相抵消, 加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4; 加4、乘、减4.

总效果是: 加4、乘、乘、乘、乘、乘、减4.

这是一个很好算的过程, 那结果可以一下子写出来:

像这样把一个运算过程, 变成另一个形变而值不变的运算过程, 在数学上叫做等价方法.

参考文献

[1] 张景中.《数学传奇》. 中国少年儿童出版社, 1982.