在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排除出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.
我们来看一个具体的问题:一次选课,某班有15人选文学课,有18人选趣味数学课,并且有4人这两门课都选了,请问这个班有多少人选了文学课或趣味数学课?
把选文学课的人看作一个集合A,选趣味数学课的人看作一个集合B,根据集合的相关知识可得|A|=15,|B|=18,|A∩B|=4,因此至少选了一门课的人=选了文学课的人数+选了数学课的人数-两门都选了的人数,于是有|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=15+18-4=29人.
文氏图(又叫维恩图)(Venn diagram)是表示集合(或类)的一种草图. 用文氏图来表示更加清楚,如下:
一般的,|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,表示了各集合个数之间的关系,这就是两个集合的容斥原理.
如果讨论的问题有三个集合呢?先看文氏图:
不难得出以下结论:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|. 这是三个集合的容斥原理.
聪明的读者可以考虑研究一下n个集合的容斥原理哦.
先试试今日挑战题吧!