9次项系数

二项式定理

二项式定理, 又称牛顿二项式定理, 由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出. 该定理给出两个数之和的整数次幂比如展开为类似项之和的恒等式. 具体的公式如下：

其中每个称为二项式系数, 是一个特定的正整数, 也可写作, 其值等于.

使用求和符号, 可以把它写作

组合方法证明

考虑

共7个括号相乘, 从7个括号选出其中的 4 个括号中的 , 再从剩余的 3 个括号中选出3个 相乘, 便得一组 , 而这样的选法共有 种, 故总共有 个 ；其他各项同理.

同理,

共 个括号相乘, 从 个括号选出其中的 个括号中的 , 再从剩余的 个括号中选出 个 相乘, 便得一组 , 而这样的选法共有 种, 故总共有 个 ; 其他各项同理.

数学归纳法证明

当时,

等式成立.

假设二项展开式在时成立.

设, 则有

根据数学归纳法, 综合上述两步骤可得等式成立.