俄罗斯方块

铺瓷砖问题

浴室里的一面墙上原铺着40块的四方瓷砖（如图）. 这些瓷砖已经破损了, 需要重新更换. 可惜, 建材商店目前没有这种四方的瓷砖, 只有的长方形瓷砖.

粗粗地考虑一下, 似乎这应该是可行的. 原先铺40块的瓷砖, 现在改铺20块的瓷砖, 面积一样, 看来是可行的. 但是, 如果你试一试, 就会发现, 怎么铺也不行. 这里面有什么奥妙呢?

如果我们把图中的40个格子涂上颜色, 便格与格成黑白相间. 再数一数, 有21个黑格、19个白格(也可涂成21个白格、19个黑格). 而一块的长方形瓷砖, 总能而且也只能盖住一个黑格和一个白格, 这样最多只能铺19块的长方形瓷砖, 剩下的2个黑格（或2个白格）无法铺盖. 所以, 用20块的长方形瓷砖永远不能铺满.

奇偶校验法

把这一思考问题的方法再体会一下, 我们会从中发现那些带有普遍性的东西.

如果两个整数都是奇数, 或都是偶数, 我们称这两个整数具有相同的奇偶性；如果两个整数, 一个是奇数, 一个是偶数, 就称这两整数有相反的奇偶性.

在上面的问题中, 黑格、白格就如同奇数、偶数一样. 我们可以认为, 同色的两个格子具有相同的奇偶性, 不同色的两个格子, 具有相反的奇偶性.

显然, 一块的长方形瓷砖能而且只能盖住具有相反的奇偶性的相邻的两个方格. 在我们设法把19块的长方形瓷砖铺好之后, 余下的两个方格能不能用一块的长方形瓷砖铺上, 则取决于这两个方格的奇偶性是否相同. 由于余下的两个方格具有相同的奇偶性, 所以第20块的长方形瓷砖是无论如何无法铺上去的.

这种用奇偶性对问题作出分析判断的思想方法叫奇偶校验法, 在铺砌理论（属于组合几何学）中很有用处, 在其他场合也有用处. 1957年, 著名的物理学家李政道、杨振宁因推翻了“宇称守恒定律”而获得了诺贝尔奖, 其中也用到了这一思想.

数学魔术

最后介绍一个很有意思的“数学魔术”.

在一条迂回曲折的封闭、但不自交的曲线内, 请你随意画上点, 我可以很快地说出这个点是在封闭曲线内, 还是外.

要知道, 由于曲线迂回曲折, 要很快作出这样的判断是不容易的. 不知内情的人, 不看得眼花缭乱才怪呢!

怎么才能很快地判断图中点是在封闭曲线内还是外呢？

我们可以先画一点在封闭曲线外的点, 连结, 数一下与曲线有几个交点. 如果有奇数个交点, 则点在曲线内；如果有偶数个交点, 则说明点在曲线外. 图中的点在曲线内.

参考文献

[1]陈永明. 少年趣味代数学[M]. 北京：商务印书馆. 2012, 290-292.