$23$的阶乘

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container>的阶乘

不用计算器, 你能算出<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container>的阶乘中的某两位数吗？

不用计算器计算, 你能求出等式中未知的两个数字吗？

根据阶乘的定义, , 不用计算器, 这乘积的计算量还是相当大的. 那怎么求呢？由于题目中的等式只有两个未知数, 所以只需要找到两条有用的信息. 是连续的23个自然数相乘, 因此能被这23个自然数整除. 将23个自然数都讨论一遍, 显然没有必要, 比如我们知道能被2整除的数都是偶数, 显然这个等式右边是偶数, 所以这条是无用信息, 并且如果一个数能被9整除它就能被3整除, 因此讨论了被9整除, 就不用讨论被3整除了. 所以我们只要找两个不相关的数字比如9和11进行研究即可. 下面让我们探讨能被9和11整除的数应该满足的条件.

首先了解"同余"的概念和相应的符号表示.

若两个整数被自然数除有相同的余数, 那么称对于模同余, 用式子表示为:

该式被称作同余式, 读作: 同余于, 模, 或与对模同余.

下面我们来探讨任意一个十进制数被和除的同余式.

举几个9的倍数：观察后发现数位上的数之和也是9的倍数. 这就是充要条件. 怎么证明呢？

注意到都是9的倍数.

这些数都可以表示成. 因此证明的时候就可以将这些数减去, 让我们来看具体的证明.

设一个十进制数为

即

由于

能被整除, 因此

因此, 除以后的余数与的数位和除以后的余数相同.

对于被11除的同余式, 相对复杂一些, 但同样是考虑将11的倍数的数减去, 下面的证明用到了二项式定理.

二项式定理：

其中每个称为二项式系数, 是一个特定的正整数, 也可写作, 其值等于.

对于任意一个十进制数

由于

根据二项式定理, 可得

观察可知, 除了最后一项, 前面每一项都是的倍数.

因此

也就是, 除以的余数与的奇数位的和减去偶数位的和得到的差除以的余数相同.

现在你能完成今天的挑战题了吗？