切线交点的轨迹

给定一个椭圆, 若椭圆外一点到椭圆有两条垂直的切线, 则点的轨迹是什么图形呢?

不妨设椭圆方程为

下面我们将证明点的轨迹是一个以原点为圆心, 半径为的圆.

设是椭圆的切线（斜率存在）.

则关于的方程有两个相等的实数根, 我们将该方程改写为

由于这个方程有两个相等的实数根, 因此判别式, 即

解得

设的坐标为. 因为切线通过点, 所以, 因此

由于从点到椭圆的两条切线相互垂直, 方程的两个根和为切线斜率，满足,

因此可以得出

可以验证斜率不存在时切线的交点也满足这个方程.

这是一个以原点为圆心, 半径为的圆的方程.